giải tự luận đúng

Câu 25: Để tính tổng \( S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \ldots \), ta nhận thấy đây là một cấp số nhân vô hạn có công bội \( q = \frac{1}{3} \) và số hạng đầu \( a = 1 \). Tổng của một cấp số nhân vô hạn có công bội \( |q| < 1 \) được tính theo công thức: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] Áp dụng công thức trên với \( a = 1 \) và \( q = \frac{1}{3} \), ta có: \[ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \] Vậy tổng \( S \) của dãy số là \( \frac{3}{2} \). Lưu ý: Phần còn lại của đề bài không liên quan đến việc tính tổng \( S \) và có vẻ như có sự nhầm lẫn hoặc không đầy đủ thông tin. Nếu có thêm thông tin hoặc yêu cầu cụ thể khác, vui lòng cung cấp để tôi có thể hỗ trợ tốt hơn. Câu 26: Để tìm số hạng \( u_{10} \) của dãy số, chúng ta cần biết công thức tổng quát của dãy số đó. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp thông tin cụ thể về công thức hoặc quy luật của dãy số. Do đó, tôi sẽ giả sử rằng dãy số đã cho là một dãy số có quy luật đơn giản, ví dụ như dãy số cộng hoặc dãy số nhân. Giả sử dãy số là một dãy số cộng với số hạng đầu tiên \( u_1 \) và công sai \( d \). Công thức tổng quát của dãy số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Để tìm \( u_{10} \), chúng ta cần biết \( u_1 \) và \( d \). Nếu không có thông tin cụ thể, chúng ta không thể tính toán chính xác giá trị của \( u_{10} \). Tuy nhiên, nếu đề bài yêu cầu tìm \( u_{10} \) dựa trên một quy luật nào đó đã được nêu trước đó, chúng ta sẽ áp dụng quy luật đó để tính toán. Vì đề bài không cung cấp đủ thông tin để xác định chính xác dãy số, nên chúng ta không thể đưa ra câu trả lời cụ thể cho \( u_{10} \). Do đó, cần thêm thông tin về dãy số để có thể tính toán chính xác số hạng \( u_{10} \). Câu 27: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học không gian và các tính chất của trọng tâm, trung điểm. a) Chứng minh \( EG \parallel (ACD) \) 1. Xác định vị trí của điểm G: - G là trọng tâm của tam giác ABD, do đó \( \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \). 2. Xác định vị trí của điểm E: - E thuộc cạnh BC và \( EB = 2EC \), do đó \( \overrightarrow{E} = \frac{2}{3}\overrightarrow{B} + \frac{1}{3}\overrightarrow{C} \). 3. Xét mặt phẳng (ACD): - Mặt phẳng (ACD) được xác định bởi các điểm A, C, D. 4. Chứng minh \( EG \parallel (ACD) \): - Ta cần chứng minh rằng vector \( \overrightarrow{EG} \) là tổ hợp tuyến tính của các vector nằm trong mặt phẳng (ACD). - Tính vector \( \overrightarrow{EG} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{E} = \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{B} + \frac{1}{3}\overrightarrow{D}\right) - \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{B} + \frac{1}{3}\overrightarrow{C}\right) \). - Suy ra \( \overrightarrow{EG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{A} - \frac{1}{3}\overrightarrow{B} + \frac{1}{3}\overrightarrow{D} - \frac{1}{3}\overrightarrow{C} \). - Ta thấy \( \overrightarrow{EG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}) + \frac{1}{3}(\overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}) \). - Vì \( \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} \) và \( \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} \) đều nằm trong mặt phẳng (ACD), nên \( \overrightarrow{EG} \) là tổ hợp tuyến tính của các vector trong mặt phẳng (ACD). - Do đó, \( EG \parallel (ACD) \). b) Chứng minh \( MN \parallel (BCD) \) 1. Xác định vị trí của điểm M và N: - M là trung điểm của AB, do đó \( \overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \). - N là trung điểm của AC, do đó \( \overrightarrow{N} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}) \). 2. Xét mặt phẳng (BCD): - Mặt phẳng (BCD) được xác định bởi các điểm B, C, D. 3. Chứng minh \( MN \parallel (BCD) \): - Tính vector \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{A} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C}\right) - \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{A} + \frac{1}{2}\overrightarrow{B}\right) \). - Suy ra \( \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) \). - Vector \( \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} \) nằm trong mặt phẳng (BCD), do đó \( \overrightarrow{MN} \) là một vector song song với mặt phẳng (BCD). - Do đó, \( MN \parallel (BCD) \). Vậy, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán. Câu 28: Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta cần chỉ ra rằng chúng không có điểm chung và các đường thẳng tương ứng trong hai mặt phẳng đó song song với nhau. Bước 1: Xác định các mặt phẳng cần chứng minh song song - Mặt phẳng \( (BDA') \) được xác định bởi ba điểm \( B, D, A' \). - Mặt phẳng \( (B'D'C) \) được xác định bởi ba điểm \( B', D', C \). Bước 2: Chứng minh các đường thẳng tương ứng song song - Xét đường thẳng \( BD \) trong mặt phẳng \( (BDA') \) và đường thẳng \( B'D' \) trong mặt phẳng \( (B'D'C) \). - Do hình hộp có các cạnh song song và bằng nhau, ta có \( BD // B'D' \). - Xét đường thẳng \( DA' \) trong mặt phẳng \( (BDA') \) và đường thẳng \( D'C \) trong mặt phẳng \( (B'D'C) \). - Do hình hộp có các cạnh song song và bằng nhau, ta có \( DA' // D'C \). Bước 3: Chứng minh không có điểm chung - Do \( BD // B'D' \) và \( DA' // D'C \), hai mặt phẳng \( (BDA') \) và \( (B'D'C) \) không thể có điểm chung vì nếu có, thì các đường thẳng tương ứng phải cắt nhau, điều này mâu thuẫn với tính chất song song đã chứng minh. Kết luận: Vì các đường thẳng tương ứng trong hai mặt phẳng song song và hai mặt phẳng không có điểm chung, ta kết luận rằng \( (BDA') // (B'D'C) \). Câu 29: Để chứng minh rằng \( MN \parallel (BCC'B') \), ta cần chứng minh rằng \( MN \) song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (BCC'B') \). Bước 1: Xác định các điểm và trung điểm - Gọi \( M \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( M \) chia \( AB \) thành hai đoạn bằng nhau. - Gọi \( N \) là trung điểm của \( A'C' \), do đó \( N \) chia \( A'C' \) thành hai đoạn bằng nhau. Bước 2: Xác định mặt phẳng \( (BCC'B') \) - Mặt phẳng \( (BCC'B') \) là mặt phẳng chứa các điểm \( B, C, C', B' \). Bước 3: Chứng minh \( MN \parallel (BCC'B') \) - Để chứng minh \( MN \parallel (BCC'B') \), ta cần chứng minh rằng \( MN \) song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng \( (BCC'B') \). Bước 4: Chọn đường thẳng song song - Xét đường thẳng \( BB' \) trong mặt phẳng \( (BCC'B') \). - Vì \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( A'C' \), theo định lý đường trung bình trong hình lăng trụ, ta có \( MN \parallel BB' \). Kết luận - Do \( MN \parallel BB' \) và \( BB' \) nằm trong mặt phẳng \( (BCC'B') \), suy ra \( MN \parallel (BCC'B') \). Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( MN \parallel (BCC'B') \).