giúp câu 1 đên 11

Câu 1: Để xác định công thức nào trong các công thức đã cho là sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng công thức một cách chi tiết dựa trên các công thức lượng giác cơ bản. 1. Kiểm tra công thức A: \[ \cos(a - b) = \sin a \sin b + \cos a \cos b \] Công thức này đúng vì nó chính là công thức cộng góc cho cosin. 2. Kiểm tra công thức B: \[ \cos(a + b) = \sin a \sin b - \cos a \cos b \] Công thức này sai vì công thức đúng cho \(\cos(a + b)\) là: \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \] 3. Kiểm tra công thức C: \[ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \] Công thức này đúng vì nó chính là công thức trừ góc cho sin. 4. Kiểm tra công thức D: \[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \] Công thức này đúng vì nó chính là công thức cộng góc cho sin. Từ các kiểm tra trên, ta thấy rằng công thức B là sai. Đáp án: B. \(\cos(a + b) = \sin a \sin b - \cos a \cos b\) Câu 2: Để xác định hàm số nào là hàm số chẵn, chúng ta cần kiểm tra tính chất của hàm số chẵn: \( f(-x) = f(x) \). 1. Kiểm tra hàm số \( y = \sin x \): - Ta biết rằng \( \sin(-x) = -\sin x \). Do đó, \( \sin x \) không phải là hàm số chẵn. 2. Kiểm tra hàm số \( y = \cos x \): - Ta biết rằng \( \cos(-x) = \cos x \). Do đó, \( \cos x \) là hàm số chẵn. 3. Kiểm tra hàm số \( y = \tan x \): - Ta biết rằng \( \tan(-x) = -\tan x \). Do đó, \( \tan x \) không phải là hàm số chẵn. 4. Kiểm tra hàm số \( y = \cot x \): - Ta biết rằng \( \cot(-x) = -\cot x \). Do đó, \( \cot x \) không phải là hàm số chẵn. Vậy trong các hàm số đã cho, hàm số chẵn là \( y = \cos x \). Đáp án: \( B.~y=\cos x \). Câu 3: Để xác định số hạng cuối cùng của dãy số 4; 7; 10; ...; 49, ta cần nhận biết quy luật của dãy số này. Quan sát dãy số: - Số hạng đầu tiên là 4. - Số hạng thứ hai là 7. - Số hạng thứ ba là 10. Ta thấy rằng mỗi số hạng tiếp theo đều tăng thêm 3 đơn vị so với số hạng trước đó. Do đó, dãy số này là một cấp số cộng với công sai \(d = 3\). Công thức tổng quát của một cấp số cộng là: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] Trong đó: - \(a_n\) là số hạng thứ \(n\). - \(a_1\) là số hạng đầu tiên. - \(d\) là công sai. - \(n\) là số thứ tự của số hạng. Áp dụng vào dãy số đã cho: - \(a_1 = 4\) - \(d = 3\) Ta cần tìm số hạng thứ 16 (\(a_{16}\)): \[ a_{16} = a_1 + (16-1)d \] \[ a_{16} = 4 + 15 \cdot 3 \] \[ a_{16} = 4 + 45 \] \[ a_{16} = 49 \] Vậy số hạng cuối cùng của dãy số là 49. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{C. 49} \] Câu 4: Để xác định công thức đúng cho số hạng tổng quát của một cấp số cộng, chúng ta cần hiểu rằng mỗi số hạng trong cấp số cộng được tạo ra bằng cách thêm công sai \( d \) vào số hạng trước đó. Giả sử \( u_1 \) là số hạng đầu tiên và \( d \) là công sai của cấp số cộng. Ta sẽ lần lượt tính các số hạng tiếp theo: - Số hạng thứ hai \( u_2 = u_1 + d \) - Số hạng thứ ba \( u_3 = u_2 + d = u_1 + 2d \) - Số hạng thứ tư \( u_4 = u_3 + d = u_1 + 3d \) Nhận thấy rằng, số hạng thứ \( n \) sẽ là \( u_1 \) cộng với \( (n-1) \) lần công sai \( d \). Do đó, công thức tổng quát cho số hạng thứ \( n \) của cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~u_n = u_1 + (n-1)d \] Câu 5: Để tính công bội \( q \) của cấp số nhân \((u_n)\) có \( u_1 = -3 \) và \( u_2 = 3 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Nhắc lại định nghĩa cấp số nhân: Một dãy số \((u_n)\) là cấp số nhân nếu mỗi số hạng sau đó bằng số hạng trước nó nhân với một hằng số \( q \) (công bội). Công thức tổng quát là: \[ u_{n+1} = u_n \cdot q \] 2. Áp dụng công thức cho \( u_2 \): Ta biết rằng \( u_2 = u_1 \cdot q \). 3. Thay giá trị đã cho vào công thức: \[ u_2 = u_1 \cdot q \implies 3 = -3 \cdot q \] 4. Giải phương trình để tìm \( q \): \[ 3 = -3 \cdot q \implies q = \frac{3}{-3} = -1 \] Vậy công bội \( q \) của cấp số nhân là \( -1 \). Đáp án đúng là: \( C.~q = -1 \). Câu 6: Ta có: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^5} \] Khi \( n \) tiến đến vô cùng lớn (\( n \to \infty \)), giá trị của \( n^5 \) cũng sẽ tiến đến vô cùng lớn. Do đó, phân số \( \frac{1}{n^5} \) sẽ tiến dần về 0. Do vậy: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^5} = 0 \] Đáp án đúng là: A. 0. Câu 7: Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định để tìm ra khẳng định sai. A. $\lim \frac{1}{n} = 0$ Khi n tiến đến vô cùng lớn, $\frac{1}{n}$ sẽ tiến về 0. Do đó, khẳng định này đúng. B. $\lim \frac{c}{n^k} = 0$ (c là hằng số và k là số nguyên cho trước) Khi n tiến đến vô cùng lớn, $\frac{c}{n^k}$ sẽ tiến về 0 vì mẫu số tăng lên vô cùng lớn. Do đó, khẳng định này đúng. C. $\lim (\frac{1}{2})^n = +\infty$ Khi n tiến đến vô cùng lớn, $(\frac{1}{2})^n$ sẽ tiến về 0 vì cơ số $\frac{1}{2}$ nhỏ hơn 1 và lũy thừa của nó sẽ giảm dần về 0. Do đó, khẳng định này sai. D. $\lim c = c$ với c là hằng số Giới hạn của một hằng số luôn bằng chính hằng số đó. Do đó, khẳng định này đúng. Vậy khẳng định sai là C. Câu 8: Để tìm giới hạn của biểu thức \(\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 5}{5n + 9}\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử số và mẫu số cho \(n\). \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n + 5}{5n + 9} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n}{n} + \frac{5}{n}}{\frac{5n}{n} + \frac{9}{n}} \] Bước 2: Rút gọn các phân số trong tử số và mẫu số. \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{n}}{5 + \frac{9}{n}} \] Bước 3: Tìm giới hạn của mỗi thành phần trong tử số và mẫu số khi \(n\) tiến đến vô cùng. - Giới hạn của \(3\) khi \(n \to \infty\) là \(3\). - Giới hạn của \(\frac{5}{n}\) khi \(n \to \infty\) là \(0\). - Giới hạn của \(5\) khi \(n \to \infty\) là \(5\). - Giới hạn của \(\frac{9}{n}\) khi \(n \to \infty\) là \(0\). Do đó, ta có: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{n}}{5 + \frac{9}{n}} = \frac{3 + 0}{5 + 0} = \frac{3}{5} \] Vậy giá trị của giới hạn là \(\frac{3}{5}\). Đáp án đúng là: \(C.~\frac{3}{5}\). Câu 9: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét giới hạn của biểu thức \(x^k\) khi \(x\) tiến tới \(-\infty\), với \(k\) là số nguyên dương chẵn. 1. Xét tính chất của \(x^k\) khi \(k\) là số nguyên dương chẵn: - Khi \(k\) là số chẵn, biểu thức \(x^k\) sẽ luôn dương với mọi giá trị của \(x\) khác 0. Điều này là do tích của một số chẵn các số âm sẽ cho ra một số dương, và tích của một số chẵn các số dương cũng cho ra một số dương. 2. Xét giới hạn khi \(x \rightarrow -\infty\): - Khi \(x\) tiến tới \(-\infty\), giá trị tuyệt đối của \(x\) sẽ tăng lên không giới hạn. Do đó, \(x^k = (x \cdot x \cdot \ldots \cdot x)\) (với \(k\) lần) cũng sẽ tăng lên không giới hạn, vì mỗi \(x\) trong tích này có giá trị âm nhưng số lượng \(x\) là chẵn, nên tích của chúng là dương. 3. Kết luận: - Vì \(x^k\) là dương và tăng lên không giới hạn khi \(x\) tiến tới \(-\infty\), nên \(\lim_{x \rightarrow -\infty} x^k = +\infty\). Do đó, đáp án đúng là \(A.~+\infty\). Câu 10: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét giới hạn của hàm số \( f(x) = x^k \) khi \( x \to +\infty \) và \( x \to -\infty \), với \( k \) là số nguyên dương lẻ. Bước 1: Xét giới hạn khi \( x \to +\infty \) Khi \( x \to +\infty \), giá trị của \( x^k \) cũng sẽ tiến tới \( +\infty \). Điều này là do: - \( x \) là một số dương rất lớn. - \( k \) là số nguyên dương lẻ, do đó \( x^k \) vẫn là một số dương và càng lớn khi \( x \) càng lớn. Vì vậy, \(\lim_{x \to +\infty} x^k = +\infty\). Bước 2: Xét giới hạn khi \( x \to -\infty \) Khi \( x \to -\infty \), giá trị của \( x^k \) sẽ tiến tới \( -\infty \). Điều này là do: - \( x \) là một số âm rất lớn (về độ lớn tuyệt đối). - \( k \) là số nguyên dương lẻ, do đó \( x^k \) sẽ là một số âm (vì tích của một số âm lẻ lần vẫn là số âm). Vì vậy, \(\lim_{x \to -\infty} x^k = -\infty\). Kết luận Dựa vào phân tích trên, ta có: - Khi \( x \to +\infty \), \(\lim_{x \to +\infty} x^k = +\infty\). - Khi \( x \to -\infty \), \(\lim_{x \to -\infty} x^k = -\infty\). Do đó, đáp án đúng cho giới hạn \(\lim x^k\) khi \( x \to +\infty \) là \( A.~+\infty \). Câu 11: Để xác định đồ thị của hàm số không liên tục tại \( x = 1 \), chúng ta cần xem xét định nghĩa của tính liên tục của hàm số tại một điểm. Một hàm số \( f(x) \) được gọi là liên tục tại điểm \( x = a \) nếu thỏa mãn ba điều kiện sau: 1. Hàm số \( f(x) \) xác định tại \( x = a \), tức là \( f(a) \) tồn tại. 2. Giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến tới \( a \) tồn tại, tức là \(\lim_{x \to a} f(x)\) tồn tại. 3. Giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến tới \( a \) bằng giá trị của hàm số tại \( a \), tức là \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\). Nếu một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, hàm số sẽ không liên tục tại \( x = a \). Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các điều kiện này để kiểm tra tính liên tục của hàm số tại \( x = 1 \) cho từng đồ thị: - Đồ thị A: Quan sát đồ thị, nếu tại \( x = 1 \), có một lỗ hổng hoặc điểm nhảy, thì hàm số không liên tục. Nếu không có, hàm số có thể liên tục. - Đồ thị B: Nếu tại \( x = 1 \), đồ thị có một điểm nhảy hoặc không có giá trị xác định, thì hàm số không liên tục. - Đồ thị C: Tương tự, kiểm tra xem tại \( x = 1 \) có điểm nhảy hoặc lỗ hổng nào không. - Đồ thị D: Kiểm tra tính liên tục tại \( x = 1 \) như trên. Kết luận: Đồ thị của hàm số không liên tục tại \( x = 1 \) là đồ thị có một trong ba điều kiện liên tục không thỏa mãn tại điểm đó. Nếu đồ thị B có một điểm nhảy hoặc lỗ hổng tại \( x = 1 \), thì đó là đồ thị cần tìm.