Làm bài tập

Câu 128: a) \(\lim_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{x^2+16}-\sqrt[3]{x^3+64}}{x^2-4x}\) Ta nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp để đơn giản hóa: \[ \begin{align} &= \lim_{x\to 0} \dfrac{\left(\sqrt{x^2+16}-\sqrt[3]{x^3+64}\right)\left(\sqrt{x^2+16}+\sqrt[3]{x^3+64}\right)}{x(x-4)\left(\sqrt{x^2+16}+\sqrt[3]{x^3+64}\right)} \\ &= \lim_{x\to 0} \dfrac{(x^2+16)-(x^3+64)}{x(x-4)\left(\sqrt{x^2+16}+\sqrt[3]{x^3+64}\right)} \\ &= \lim_{x\to 0} \dfrac{-x^3+x^2-48}{x(x-4)\left(\sqrt{x^2+16}+\sqrt[3]{x^3+64}\right)} \\ &= \lim_{x\to 0} \dfrac{-x^2+4x+12}{(x-4)\left(\sqrt{x^2+16}+\sqrt[3]{x^3+64}\right)} \\ &= \dfrac{-0^2+4(0)+12}{(-4)\left(\sqrt{0^2+16}+\sqrt[3]{0^3+64}\right)} \\ &= \dfrac{12}{(-4)(4+4)} \\ &= -\dfrac{3}{8}. \end{align} \] b) \(\lim_{x\to 1} \dfrac{x\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}\) Ta nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp để đơn giản hóa: \[ \begin{align} &= \lim_{x\to 1} \dfrac{(x\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)} \\ &= \lim_{x\to 1} \dfrac{(x\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}{x-1} \\ &= \lim_{x\to 1} \dfrac{(x^{4/3}-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}{x-1} \\ &= \lim_{x\to 1} \dfrac{(x-1)(x^{1/3}+1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}{x-1} \\ &= \lim_{x\to 1} (x^{1/3}+1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1) \\ &= (1^{1/3}+1)(\sqrt[3]{1^2}+\sqrt[3]{1}+1) \\ &= 2 \cdot 3 \\ &= 6. \end{align} \] Câu 2: a) Ta có: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{x^3 - x^2 - x + 1} \] Thay \( x = 1 \) vào tử số và mẫu số: \[ \text{Tử số: } 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] \[ \text{Mẫu số: } 1^3 - 1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0 \] Do đó, ta cần phân tích thêm để tìm giới hạn. Ta sẽ phân tích đa thức ở tử số và mẫu số thành nhân tử. Tử số: \[ x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) = (x - 1)(x - 1)(x + 2) = (x - 1)^2(x + 2) \] Mẫu số: \[ x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)(x^2 - 1) = (x - 1)(x - 1)(x + 1) = (x - 1)^2(x + 1) \] Vậy: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^2(x + 2)}{(x - 1)^2(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{1 + 2}{1 + 1} = \frac{3}{2} \] b) Ta có: \[ \lim_{x \to -1} \frac{x^3 - x^2 + 2x + 4}{x^2 - 3x - 4} \] Thay \( x = -1 \) vào tử số và mẫu số: \[ \text{Tử số: } (-1)^3 - (-1)^2 + 2(-1) + 4 = -1 - 1 - 2 + 4 = 0 \] \[ \text{Mẫu số: } (-1)^2 - 3(-1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 \] Do đó, ta cần phân tích thêm để tìm giới hạn. Ta sẽ phân tích đa thức ở tử số và mẫu số thành nhân tử. Tử số: \[ x^3 - x^2 + 2x + 4 = (x + 1)(x^2 - 2x + 4) \] Mẫu số: \[ x^2 - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4) \] Vậy: \[ \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x^2 - 2x + 4)}{(x + 1)(x - 4)} = \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 4} = \frac{(-1)^2 - 2(-1) + 4}{-1 - 4} = \frac{1 + 2 + 4}{-5} = \frac{7}{-5} = -\frac{7}{5} \] c) Ta có: \[ \lim_{x \to -3} \frac{x^4 - 6x^2 - 27}{x^3 + 3x^2 + x + 3} \] Thay \( x = -3 \) vào tử số và mẫu số: \[ \text{Tử số: } (-3)^4 - 6(-3)^2 - 27 = 81 - 54 - 27 = 0 \] \[ \text{Mẫu số: } (-3)^3 + 3(-3)^2 + (-3) + 3 = -27 + 27 - 3 + 3 = 0 \] Do đó, ta cần phân tích thêm để tìm giới hạn. Ta sẽ phân tích đa thức ở tử số và mẫu số thành nhân tử. Tử số: \[ x^4 - 6x^2 - 27 = (x^2 - 9)(x^2 + 3) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 3) \] Mẫu số: \[ x^3 + 3x^2 + x + 3 = (x + 3)(x^2 + 1) \] Vậy: \[ \lim_{x \to -3} \frac{(x - 3)(x + 3)(x^2 + 3)}{(x + 3)(x^2 + 1)} = \lim_{x \to -3} \frac{(x - 3)(x^2 + 3)}{x^2 + 1} = \frac{(-3 - 3)((-3)^2 + 3)}{(-3)^2 + 1} = \frac{(-6)(9 + 3)}{9 + 1} = \frac{-6 \cdot 12}{10} = \frac{-72}{10} = -\frac{36}{5} \] Câu 129: a) \(\lim_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{x^2+16}-\sqrt[3]{x^3+64}}{x^2-4x}\) Ta nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp để đơn giản hóa: \[ \begin{align} &= \lim_{x\to 0} \dfrac{\left(\sqrt{x^2+16}-\sqrt[3]{x^3+64}\right)\left(\sqrt{x^2+16}+\sqrt[3]{x^3+64}\right)}{x(x-4)\left(\sqrt{x^2+16}+\sqrt[3]{x^3+64}\right)} \\ &= \lim_{x\to 0} \dfrac{(x^2+16)-(x^3+64)}{x(x-4)\left(\sqrt{x^2+16}+\sqrt[3]{x^3+64}\right)} \\ &= \lim_{x\to 0} \dfrac{-x^3+x^2-48}{x(x-4)\left(\sqrt{x^2+16}+\sqrt[3]{x^3+64}\right)} \\ &= \lim_{x\to 0} \dfrac{-x^2+4x+12}{(x-4)\left(\sqrt{x^2+16}+\sqrt[3]{x^3+64}\right)} \\ &= \dfrac{-0^2+4(0)+12}{(-4)\left(\sqrt{0^2+16}+\sqrt[3]{0^3+64}\right)} \\ &= \dfrac{12}{(-4)(4+4)} \\ &= -\dfrac{3}{8}. \end{align} \] b) \(\lim_{x\to 1} \dfrac{x\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}\) Ta nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp để đơn giản hóa: \[ \begin{align} &= \lim_{x\to 1} \dfrac{(x\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)} \\ &= \lim_{x\to 1} \dfrac{(x\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}{x-1} \\ &= \lim_{x\to 1} \dfrac{(x^{4/3}-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}{x-1} \\ &= \lim_{x\to 1} \dfrac{(x-1)(x^{1/3}+1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}{x-1} \\ &= \lim_{x\to 1} (x^{1/3}+1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1) \\ &= (1^{1/3}+1)(\sqrt[3]{1^2}+\sqrt[3]{1}+1) \\ &= 2 \cdot 3 \\ &= 6. \end{align} \] Câu 3: a) Ta có: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{x^4 - 4x + 3} \] Đầu tiên, ta sẽ phân tích tử số và mẫu số để tìm các nhân tử chung. Tử số: \( x^3 - 3x + 2 \) Mẫu số: \( x^4 - 4x + 3 \) Ta thấy rằng cả tử số và mẫu số đều có thể viết dưới dạng đa thức có nghiệm tại \( x = 1 \). Tử số: \[ x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) \] \[ = (x - 1)(x - 1)(x + 2) \] \[ = (x - 1)^2(x + 2) \] Mẫu số: \[ x^4 - 4x + 3 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x - 3) \] \[ = (x - 1)(x - 1)(x^2 + 2x + 3) \] \[ = (x - 1)^2(x^2 + 2x + 3) \] Do đó, ta có: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^2(x + 2)}{(x - 1)^2(x^2 + 2x + 3)} \] Rút gọn: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{x^2 + 2x + 3} \] Thay \( x = 1 \): \[ \frac{1 + 2}{1^2 + 2 \cdot 1 + 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Vậy: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{x^4 - 4x + 3} = \frac{1}{2} \] b) Ta có: \[ \lim_{x \to 2} \frac{4x^2 + x - 18}{x^3 - 8} \] Đầu tiên, ta sẽ phân tích tử số và mẫu số để tìm các nhân tử chung. Tử số: \[ 4x^2 + x - 18 \] \[ = (4x - 9)(x + 2) \] Mẫu số: \[ x^3 - 8 \] \[ = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \] Do đó, ta có: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(4x - 9)(x + 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} \] Rút gọn: \[ \lim_{x \to 2} \frac{4x - 9}{x^2 + 2x + 4} \] Thay \( x = 2 \): \[ \frac{4 \cdot 2 - 9}{2^2 + 2 \cdot 2 + 4} = \frac{8 - 9}{4 + 4 + 4} = \frac{-1}{12} = -\frac{1}{12} \] Vậy: \[ \lim_{x \to 2} \frac{4x^2 + x - 18}{x^3 - 8} = -\frac{1}{12} \] c) Ta có: \[ \lim_{x \to 3} \frac{x^4 - x^2 - 72}{x^2 - 2x - 3} \] Đầu tiên, ta sẽ phân tích tử số và mẫu số để tìm các nhân tử chung. Tử số: \[ x^4 - x^2 - 72 \] \[ = (x^2 - 9)(x^2 + 8) \] \[ = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 8) \] Mẫu số: \[ x^2 - 2x - 3 \] \[ = (x - 3)(x + 1) \] Do đó, ta có: \[ \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)(x^2 + 8)}{(x - 3)(x + 1)} \] Rút gọn: \[ \lim_{x \to 3} \frac{(x + 3)(x^2 + 8)}{x + 1} \] Thay \( x = 3 \): \[ \frac{(3 + 3)(3^2 + 8)}{3 + 1} = \frac{6 \cdot 17}{4} = \frac{102}{4} = 25.5 \] Vậy: \[ \lim_{x \to 3} \frac{x^4 - x^2 - 72}{x^2 - 2x - 3} = 25.5 \] Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x + y \) với điều kiện \( x^2 + y^2 = 1 \). Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Điều kiện xác định của \( x \) và \( y \) là \( x^2 + y^2 = 1 \). Vì \( x^2 \geq 0 \) và \( y^2 \geq 0 \), nên \( -1 \leq x \leq 1 \) và \( -1 \leq y \leq 1 \). Bước 2: Biến đổi biểu thức \( P \) - Ta có \( P = x + y \). Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz - Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \[ (x^2 + y^2)(1^2 + 1^2) \geq (x + y)^2 \] \[ 1 \cdot 2 \geq (x + y)^2 \] \[ 2 \geq (x + y)^2 \] \[ \sqrt{2} \geq |x + y| \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \( P \) - Từ bất đẳng thức trên, ta suy ra: \[ -\sqrt{2} \leq x + y \leq \sqrt{2} \] Do đó, giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \) và giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \). Bước 5: Kiểm tra các trường hợp đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất - Giá trị lớn nhất \( \sqrt{2} \) đạt được khi \( x = y = \frac{\sqrt{2}}{2} \). - Giá trị nhỏ nhất \( -\sqrt{2} \) đạt được khi \( x = y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Kết luận: Giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \), đạt được khi \( x = y = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Câu 130: a) Ta có: \[ \lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x^2 + 3}}{-x^2 + 3x - 2} \] Trước tiên, ta nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của tử số: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(1 - \sqrt{x^2 + 3})(1 + \sqrt{x^2 + 3})}{(-x^2 + 3x - 2)(1 + \sqrt{x^2 + 3})} \] Ta có: \[ (1 - \sqrt{x^2 + 3})(1 + \sqrt{x^2 + 3}) = 1 - (x^2 + 3) = -x^2 - 2 \] Vậy: \[ \lim_{x \to 1} \frac{-x^2 - 2}{(-x^2 + 3x - 2)(1 + \sqrt{x^2 + 3})} \] Tiếp theo, ta phân tích mẫu số: \[ -x^2 + 3x - 2 = -(x^2 - 3x + 2) = -(x - 1)(x - 2) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1} \frac{-x^2 - 2}{-(x - 1)(x - 2)(1 + \sqrt{x^2 + 3})} \] Khi \( x \to 1 \), ta có: \[ \lim_{x \to 1} \frac{-1^2 - 2}{-(1 - 1)(1 - 2)(1 + \sqrt{1^2 + 3})} = \frac{-1 - 2}{0 \cdot (-1) \cdot (1 + \sqrt{4})} = \frac{-3}{0} \] Như vậy, giới hạn này không tồn tại vì mẫu số tiến về 0 còn tử số khác 0. b) Ta có: \[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{4x + 1} - 3}{x^2 - 4} \] Trước tiên, ta nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của tử số: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{4x + 1} - 3)(\sqrt{4x + 1} + 3)}{(x^2 - 4)(\sqrt{4x + 1} + 3)} \] Ta có: \[ (\sqrt{4x + 1} - 3)(\sqrt{4x + 1} + 3) = (4x + 1) - 9 = 4x - 8 \] Vậy: \[ \lim_{x \to 2} \frac{4x - 8}{(x^2 - 4)(\sqrt{4x + 1} + 3)} \] Tiếp theo, ta phân tích mẫu số: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 2} \frac{4(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)(\sqrt{4x + 1} + 3)} \] Rút gọn: \[ \lim_{x \to 2} \frac{4}{(x + 2)(\sqrt{4x + 1} + 3)} \] Khi \( x \to 2 \), ta có: \[ \lim_{x \to 2} \frac{4}{(2 + 2)(\sqrt{4 \cdot 2 + 1} + 3)} = \frac{4}{4 \cdot (\sqrt{9} + 3)} = \frac{4}{4 \cdot (3 + 3)} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6} \] Vậy: \[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{4x + 1} - 3}{x^2 - 4} = \frac{1}{6} \] c) Ta có: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^3 - 8} \] Trước tiên, ta nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của tử số: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - \sqrt{x + 2})(x + \sqrt{x + 2})}{(x^3 - 8)(x + \sqrt{x + 2})} \] Ta có: \[ (x - \sqrt{x + 2})(x + \sqrt{x + 2}) = x^2 - (x + 2) = x^2 - x - 2 \] Vậy: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - x - 2}{(x^3 - 8)(x + \sqrt{x + 2})} \] Tiếp theo, ta phân tích mẫu số: \[ x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - x - 2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x + \sqrt{x + 2})} \] Phân tích tử số: \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x + \sqrt{x + 2})} \] Rút gọn: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{(x^2 + 2x + 4)(x + \sqrt{x + 2})} \] Khi \( x \to 2 \), ta có: \[ \lim_{x \to 2} \frac{2 + 1}{(2^2 + 2 \cdot 2 + 4)(2 + \sqrt{2 + 2})} = \frac{3}{(4 + 4 + 4)(2 + \sqrt{4})} = \frac{3}{12 \cdot (2 + 2)} = \frac{3}{12 \cdot 4} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16} \] Vậy: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^3 - 8} = \frac{1}{16} \] Câu 131: Để xét tính liên tục của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = 1 \), chúng ta cần kiểm tra ba điều kiện sau: 1. Hàm số \( f(x) \) phải xác định tại \( x = 1 \). 2. Giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 phải tồn tại. 3. Giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 phải bằng giá trị của \( f(1) \). Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra các điều kiện này. 1. Hàm số \( f(x) \) xác định tại \( x = 1 \): - Khi \( x = 1 \), \( f(x) = -1 \). Vậy hàm số xác định tại \( x = 1 \). 2. Giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1: - Khi \( x \neq 1 \), \( f(x) = \frac{x+3}{x-1} \). - Ta cần tìm giới hạn của \( \frac{x+3}{x-1} \) khi \( x \) tiến đến 1. - Ta có: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x+3}{x-1} \] - Khi \( x \) tiến đến 1 từ bên trái (\( x \to 1^- \)): \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{x+3}{x-1} = -\infty \] - Khi \( x \) tiến đến 1 từ bên phải (\( x \to 1^+ \)): \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{x+3}{x-1} = +\infty \] - Vì giới hạn trái và giới hạn phải không bằng nhau, nên giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 không tồn tại. 3. Vì giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 không tồn tại, nên hàm số \( f(x) \) không liên tục tại \( x = 1 \). Kết luận: Hàm số \( f(x) \) không liên tục tại \( x = 1 \). Câu 5: Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) trên khoảng \([0, 3]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 2x - 2 \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ 2x - 2 = 0 \implies x = 1 \] 3. Kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm đầu mút và tại các điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + 3 = 3 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \] - Tại \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = 9 - 6 + 3 = 6 \] 4. So sánh các giá trị đã tính: - \( f(0) = 3 \) - \( f(1) = 2 \) - \( f(3) = 6 \) 5. Xác định GTLN và GTNN: - Giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên khoảng \([0, 3]\) là 6, đạt được khi \( x = 3 \). - Giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên khoảng \([0, 3]\) là 2, đạt được khi \( x = 1 \). Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 6, đạt được khi \( x = 3 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi \( x = 1 \).