giúp e làm đề này với mn

Câu 11: Ta có phương trình: \[ \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(x + \frac{3\pi}{4}\right) \] Sử dụng công thức tổng quát cho phương trình \(\sin A = \sin B\): \[ A = B + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad A = \pi - B + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Áp dụng vào phương trình đã cho: 1. Trường hợp 1: \[ 2x - \frac{\pi}{4} = x + \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] Giải phương trình này: \[ 2x - x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + k2\pi \] \[ x = \pi + k2\pi \] 2. Trường hợp 2: \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \pi - \left(x + \frac{3\pi}{4}\right) + k2\pi \] Giải phương trình này: \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \pi - x - \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] \[ 2x + x = \pi - \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + k2\pi \] \[ 3x = \pi + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{3} + k\frac{2\pi}{3} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ \left[\begin{array}{l} x = \pi + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{3} + k\frac{2\pi}{3} \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Kiểm tra các đáp án: a) Đáp án này sai vì nghiệm thứ hai không đúng. b) Trong khoảng \((0; \pi)\), ta có: - \(x = \pi\) (không nằm trong khoảng \((0; \pi)\)) - \(x = \frac{\pi}{3}\) (nằm trong khoảng \((0; \pi)\)) Vậy trong khoảng \((0; \pi)\), phương trình có 1 nghiệm, không phải 2 nghiệm. c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \((0; \pi)\) là: \[ \frac{\pi}{3} \] Không phải \(\frac{7\pi}{6}\). d) Nghiệm lớn nhất trong khoảng \((0; \pi)\) là: \[ \frac{\pi}{3} \] Không phải \(\frac{5\pi}{6}\). Vậy đáp án đúng là: b) Trong khoảng \((0; \pi)\) phương trình có 1 nghiệm. Câu 12: a) Ta có: \[ \lim_{x \to +\infty} (x^2 + 3) = \lim_{x \to +\infty} x^2 \left(1 + \frac{3}{x^2}\right) = +\infty \] Vì \( x^2 \to +\infty \) và \( \frac{3}{x^2} \to 0 \). b) Ta có: \[ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + x} - x) \] Nhân và chia với \( \sqrt{x^2 + x} + x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + x} - x)(\sqrt{x^2 + x} + x)}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} \] Chia tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + x} - x) = -\infty \] c) Ta có: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x + 2} = 0 \] Vì \( x + 2 \to -\infty \). d) Ta có: \[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = \sqrt{\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x + 3}} = \sqrt{\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{1 + \frac{3}{x}}} = \sqrt{\frac{2}{1 + 0}} = \sqrt{2} \] Do đó: \[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = \sqrt{2} \] Câu 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. a) MN và SD cắt nhau. - Xét mặt phẳng (MCD): M là trung điểm của SA, do đó M nằm trên mặt phẳng (SAD). Vì N là giao điểm của SB với mặt phẳng (MCD), nên N cũng nằm trên mặt phẳng (MCD). - Đường thẳng MN nằm hoàn toàn trong mặt phẳng (MCD). - Đường thẳng SD không nhất thiết phải nằm trong mặt phẳng (MCD) vì D không thuộc mặt phẳng (MCD) trừ khi D nằm trên đường thẳng MC hoặc MD, điều này không được giả thiết. - Do đó, MN và SD không nhất thiết phải cắt nhau. Kết luận: Sai. b) $MN//CD.$ - Vì N là giao điểm của SB với mặt phẳng (MCD), nên N nằm trên mặt phẳng (MCD). - Đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (MCD). - CD là cạnh của đáy hình thang, nằm trong mặt phẳng (ABCD), và không có lý do gì để MN song song với CD trừ khi có giả thiết thêm về sự song song này. - Không có thông tin nào cho thấy MN song song với CD. Kết luận: Sai. c) MN và SC cắt nhau. - Xét mặt phẳng (MCD): M nằm trên mặt phẳng này, và N cũng nằm trên mặt phẳng này. - Đường thẳng MN nằm hoàn toàn trong mặt phẳng (MCD). - SC là một cạnh của hình chóp, và C nằm trên mặt phẳng (MCD). - Do đó, SC cắt mặt phẳng (MCD) tại điểm C. - Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy MN và SC cắt nhau tại một điểm khác ngoài C. Kết luận: Sai. d) MN và CD chéo nhau. - MN nằm trong mặt phẳng (MCD). - CD nằm trong mặt phẳng đáy (ABCD). - Hai đường thẳng MN và CD không nằm trong cùng một mặt phẳng và không song song với nhau. - Do đó, MN và CD là hai đường thẳng chéo nhau. Kết luận: Đúng. Tóm lại, các mệnh đề đúng và sai như sau: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng. Câu 14: Để tính giới hạn của một biểu thức, chúng ta cần biết biểu thức cụ thể. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp biểu thức cần tính giới hạn. Vì vậy, tôi sẽ hướng dẫn cách tính giới hạn cho một số dạng phổ biến thường gặp ở lớp 11. Dạng 1: Giới hạn của đa thức khi \( x \to \infty \) Ví dụ: Tính \(\lim_{x \to \infty} (3x^2 + 2x - 5)\). Lời giải: - Khi \( x \to \infty \), hạng tử có bậc cao nhất sẽ chi phối giá trị của biểu thức. - Do đó, \(\lim_{x \to \infty} (3x^2 + 2x - 5) = \infty\). Dạng 2: Giới hạn của phân thức khi \( x \to \infty \) Ví dụ: Tính \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 4}\). Lời giải: - Chia cả tử số và mẫu số cho \( x^2 \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}} \] - Khi \( x \to \infty \), các hạng tử \(\frac{3}{x}\), \(\frac{1}{x^2}\), và \(\frac{4}{x^2}\) đều tiến về 0. - Do đó, \(\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}} = \frac{2 + 0 - 0}{1 - 0} = 2\). Dạng 3: Giới hạn của biểu thức chứa căn khi \( x \to \infty \) Ví dụ: Tính \(\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + 2x} - x\). Lời giải: - Nhân và chia với biểu thức liên hợp: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x} - x)(\sqrt{x^2 + 2x} + x)}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} \] - Biến đổi tử số: \[ (\sqrt{x^2 + 2x} - x)(\sqrt{x^2 + 2x} + x) = (x^2 + 2x) - x^2 = 2x \] - Do đó: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x \left( \sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1 \right)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{2}{2} = 1 \] Dạng 4: Giới hạn của biểu thức chứa lũy thừa khi \( x \to 0 \) Ví dụ: Tính \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\). Lời giải: - Sử dụng công thức gần đúng \( e^x \approx 1 + x \) khi \( x \to 0 \): \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 \] Như vậy, tùy theo dạng của biểu thức cần tính giới hạn, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp tương ứng. Nếu bạn cung cấp biểu thức cụ thể, tôi sẽ giúp bạn tính giới hạn của nó. Câu 15: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm trung điểm: - I là trung điểm của BC, do đó \( \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{IC} \). - K là trung điểm của CD, do đó \( \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{KD} \). - M là trung điểm của SB, do đó \( \overrightarrow{SM} = \overrightarrow{MB} \). 2. Xác định mặt phẳng (SIK): Mặt phẳng (SIK) được xác định bởi ba điểm S, I, K. Vì I và K là trung điểm của các cạnh BC và CD của hình bình hành ABCD, nên (SIK) là một mặt phẳng đi qua đường chéo của hình bình hành. 3. Xác định điểm F: F là giao điểm của DM với mặt phẳng (SIK). Để tìm tỉ số \( \frac{MF}{MD} \), ta cần xác định vị trí của F trên đoạn DM. 4. Sử dụng tính chất hình học: Do I và K là trung điểm của BC và CD, và M là trung điểm của SB, ta có thể sử dụng tính chất của hình bình hành và trung điểm để xác định vị trí của F. - Vì I và K là trung điểm, đường thẳng IK là đường trung bình của tam giác BCD, do đó IK song song với BD và \( IK = \frac{1}{2}BD \). - Mặt khác, M là trung điểm của SB, nên DM cắt (SIK) tại F, và F chia DM theo tỉ lệ 1:1 do tính chất đối xứng của hình chóp và các trung điểm. 5. Kết luận: Từ các lập luận trên, ta có thể kết luận rằng F là trung điểm của DM. Do đó, tỉ số \( \frac{MF}{MD} = \frac{1}{2} \). Vậy, tỉ số \( \frac{MF}{MD} \) là \( \frac{1}{2} \). Câu 16: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính tổng quãng đường mà quả bóng đi được khi nảy lên và rơi xuống. 1. Lần rơi đầu tiên: - Quả bóng rơi từ độ cao $5~m$ xuống mặt đất. Quãng đường đi được là $5~m$. 2. Lần nảy đầu tiên: - Sau khi chạm đất, quả bóng nảy lên với độ cao bằng $\frac{4}{5}$ độ cao lần rơi trước đó, tức là $\frac{4}{5} \times 5 = 4~m$. 3. Lần rơi thứ hai: - Quả bóng rơi từ độ cao $4~m$ xuống mặt đất. Quãng đường đi được là $4~m$. 4. Lần nảy thứ hai: - Quả bóng nảy lên với độ cao $\frac{4}{5} \times 4 = \frac{16}{5}~m$. 5. Lần rơi thứ ba: - Quả bóng rơi từ độ cao $\frac{16}{5}~m$ xuống mặt đất. Quãng đường đi được là $\frac{16}{5}~m$. 6. Tiếp tục quá trình này: - Mỗi lần nảy lên, độ cao giảm đi theo tỷ lệ $\frac{4}{5}$ so với lần trước đó. Chúng ta nhận thấy rằng từ lần nảy thứ nhất trở đi, độ cao mà quả bóng nảy lên tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là $4~m$ và công bội là $\frac{4}{5}$. Tổng quãng đường nảy lên: - Tổng quãng đường nảy lên là tổng của cấp số nhân: \[ S_{\text{nảy lên}} = 4 + 4 \times \frac{4}{5} + 4 \times \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cdots \] Đây là tổng của một cấp số nhân vô hạn với số hạng đầu $a = 4$ và công bội $r = \frac{4}{5}$. - Tổng của cấp số nhân vô hạn được tính bằng công thức: \[ S = \frac{a}{1 - r} = \frac{4}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{4}{\frac{1}{5}} = 20 \] Tổng quãng đường rơi xuống: - Tương tự, tổng quãng đường rơi xuống cũng là một cấp số nhân với số hạng đầu $5~m$ (lần rơi đầu tiên) và các lần sau là $4~m, \frac{16}{5}~m, \ldots$ với công bội $\frac{4}{5}$. - Tổng quãng đường rơi xuống là: \[ S_{\text{rơi xuống}} = 5 + 4 + 4 \times \frac{4}{5} + 4 \times \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cdots \] Tổng này cũng là một cấp số nhân vô hạn với số hạng đầu $5$ và công bội $\frac{4}{5}$. - Tổng của cấp số nhân vô hạn này là: \[ S = \frac{5}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{5}{\frac{1}{5}} = 25 \] Tổng quãng đường quả bóng đi được: - Tổng quãng đường quả bóng đi được là tổng của quãng đường nảy lên và quãng đường rơi xuống: \[ S_{\text{tổng}} = S_{\text{nảy lên}} + S_{\text{rơi xuống}} = 20 + 25 = 45 \] Vậy tổng quãng đường quả bóng đi được là $45~m$. Câu 17: Để hàm số liên tục tại \( x = 3 \), ta cần đảm bảo rằng giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 3 từ hai phía phải bằng giá trị của hàm số tại \( x = 3 \). Hàm số đã cho là: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2} & \text{khi } x \neq 3 \\ m & \text{khi } x = 3 \end{cases} \] Trước tiên, ta cần tìm giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 3 từ bên trái và bên phải. Ta sẽ tính giới hạn của \( \frac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2} \) khi \( x \to 3 \). Nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của mẫu số: \[ \lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + 2}{\sqrt{x + 1} + 2} \] \[ = \lim_{x \to 3} \frac{(3 - x)(\sqrt{x + 1} + 2)}{(\sqrt{x + 1} - 2)(\sqrt{x + 1} + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 3} \frac{(3 - x)(\sqrt{x + 1} + 2)}{x + 1 - 4} \] \[ = \lim_{x \to 3} \frac{(3 - x)(\sqrt{x + 1} + 2)}{x - 3} \] \[ = \lim_{x \to 3} \frac{-(x - 3)(\sqrt{x + 1} + 2)}{x - 3} \] \[ = \lim_{x \to 3} -(\sqrt{x + 1} + 2) \] \[ = -(\sqrt{3 + 1} + 2) \] \[ = -(2 + 2) \] \[ = -4 \] Do đó, để hàm số liên tục tại \( x = 3 \), ta cần có: \[ m = -4 \] Vậy giá trị của \( m \) để hàm số liên tục tại \( x = 3 \) là \( m = -4 \).