giúp mình với $x\rightarrow24x+x-10$,Bài 2. Tính các giới hạn sau:,$a)~\lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{2x+3}-3}{3x-9}$

Question

nhunguyen837 · Accepted Answer

Giải bài tập Giới hạn (Limits)

Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán giới hạn bạn đã cung cấp.

Bài 2: Tính giới hạn

$a) \lim_{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{2x+3}-3}{3x-9}$

Phân tích:

Khi thay trực tiếp $x = 3$ vào biểu thức:

Tử số: $\sqrt{2(3)+3}-3 = \sqrt{9}-3 = 0$

Mẫu số: $3(3)-9 = 0$

Đây là dạng vô định $\frac{0}{0}$. Ta cần khử đại lượng gây ra dạng vô định này (là $x-3$) bằng cách nhân liên hợp ở tử số.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số là $(\sqrt{2x+3}+3)$

$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{(\sqrt{2x+3}-3)(\sqrt{2x+3}+3)}{(3x-9)(\sqrt{2x+3}+3)}$

Bước 2: Sử dụng hằng đẳng thức $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ cho tử số

$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{(2x+3) - 3^2}{(3x-9)(\sqrt{2x+3}+3)}$

$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{2x+3 - 9}{3(x-3)(\sqrt{2x+3}+3)}$

$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{2x-6}{3(x-3)(\sqrt{2x+3}+3)}$

Bước 3: Đặt nhân tử chung để rút gọn biểu thức $(x-3)$

$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{2(x-3)}{3(x-3)(\sqrt{2x+3}+3)}$

Rút gọn $(x-3)$ ở cả tử và mẫu:

$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{2}{3(\sqrt{2x+3}+3)}$

Bước 4: Thay giá trị $x = 3$ vào biểu thức đã rút gọn

$= \frac{2}{3(\sqrt{2(3)+3}+3)}$

$= \frac{2}{3(\sqrt{9}+3)}$

$= \frac{2}{3(3+3)}$

$= \frac{2}{3 \cdot 6} = \frac{2}{18}$

Kết quả:

$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{2x+3}-3}{3x-9} = \frac{1}{9}$

Timi · Answer

Bài 2:
Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{2x+3}-3}{3x-9}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Nhận dạng dạng vô định: Khi thay $x = 3$ vào biểu thức, ta thấy cả tử số và mẫu số đều bằng 0, tức là dạng $\frac{0}{0}$. Do đó, ta cần biến đổi để loại bỏ dạng này.

2. Nhân lượng liên hợp: Ta nhân cả tử số và mẫu số với lượng liên hợp của tử số, tức là $\sqrt{2x+3} + 3$.

$$
   \lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{2x+3}-3}{3x-9} = \lim_{x\rightarrow3}\frac{(\sqrt{2x+3}-3)(\sqrt{2x+3}+3)}{(3x-9)(\sqrt{2x+3}+3)}
   $$

3. Rút gọn biểu thức: Ta biết rằng $(\sqrt{2x+3}-3)(\sqrt{2x+3}+3) = (\sqrt{2x+3})^2 - 3^2 = 2x + 3 - 9 = 2x - 6$.

$$
   \lim_{x\rightarrow3}\frac{2x - 6}{(3x-9)(\sqrt{2x+3}+3)}
   $$

4. Phân tích mẫu số: Mẫu số có thể viết lại thành $3(x - 3)$.

$$
   \lim_{x\rightarrow3}\frac{2(x - 3)}{3(x - 3)(\sqrt{2x+3}+3)}
   $$

5. Rút gọn phân số: Ta có thể rút gọn $(x - 3)$ ở tử số và mẫu số.

$$
   \lim_{x\rightarrow3}\frac{2}{3(\sqrt{2x+3}+3)}
   $$

6. Thay giá trị $x = 3$ vào biểu thức đã rút gọn:

$$
   \lim_{x\rightarrow3}\frac{2}{3(\sqrt{2 \cdot 3 + 3} + 3)} = \frac{2}{3(\sqrt{6 + 3} + 3)} = \frac{2}{3(\sqrt{9} + 3)} = \frac{2}{3(3 + 3)} = \frac{2}{3 \cdot 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}
   $$

Vậy, giới hạn của biểu thức là:

$$
\boxed{\frac{1}{9}}
$$