Giúp mình với!

Câu 1: Để tính cường độ tổng hợp của hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$, ta sử dụng quy tắc hình bình hành. Theo quy tắc này, cường độ của lực tổng hợp $\overrightarrow{F}$ được tính bằng công thức: \[ F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta} \] Trong đó: - $F_1 = 100$N là cường độ của lực $\overrightarrow{F_1}$. - $F_2 = 100$N là cường độ của lực $\overrightarrow{F_2}$. - $\theta = 60^\circ$ là góc giữa hai lực. Thay các giá trị vào công thức, ta có: \[ F = \sqrt{100^2 + 100^2 + 2 \times 100 \times 100 \times \cos 60^\circ} \] Biết rằng $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, ta tiếp tục tính: \[ F = \sqrt{10000 + 10000 + 2 \times 100 \times 100 \times \frac{1}{2}} \] \[ F = \sqrt{10000 + 10000 + 10000} \] \[ F = \sqrt{30000} \] \[ F = 100\sqrt{3} \] Vậy, cường độ tổng hợp của hai lực là $100\sqrt{3}$ N. Câu 2: Để tìm vận tốc của ca nô so với bờ, chúng ta cần tính tổng của hai vận tốc: vận tốc của dòng nước (từ phía Bắc xuống phía Nam) và vận tốc của ca nô so với dòng nước (từ phía Đông sang phía Tây). Bước 1: Xác định các vận tốc đã cho: - Vận tốc của dòng nước: 10 km/h (từ phía Bắc xuống phía Nam) - Vận tốc của ca nô so với dòng nước: 35 km/h (từ phía Đông sang phía Tây) Bước 2: Ta thấy rằng hai vận tốc này vuông góc với nhau, do đó ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính vận tốc tổng hợp của ca nô so với bờ. Bước 3: Áp dụng định lý Pythagoras: \[ v_{\text{ca nô}} = \sqrt{(v_{\text{nước}})^2 + (v_{\text{ca nô so với nước}})^2} \] \[ v_{\text{ca nô}} = \sqrt{10^2 + 35^2} \] \[ v_{\text{ca nô}} = \sqrt{100 + 1225} \] \[ v_{\text{ca nô}} = \sqrt{1325} \] Bước 4: Tính giá trị của \(\sqrt{1325}\): \[ \sqrt{1325} \approx 36.4 \text{ km/h} \] Vậy, vận tốc của ca nô so với bờ là khoảng 36.4 km/h. Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tính độ dài của tổng các vectơ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\). Trước tiên, ta cần xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ. Giả sử điểm \(A\) có tọa độ \((0, 0)\), do \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), ta có: - Điểm \(B\) có tọa độ \((2a, 0)\). - Điểm \(C\) có tọa độ \((2a, 2a)\). - Điểm \(D\) có tọa độ \((0, 2a)\). Từ đó, ta có thể xác định các vectơ: - \(\overrightarrow{AB} = (2a - 0, 0 - 0) = (2a, 0)\). - \(\overrightarrow{AC} = (2a - 0, 2a - 0) = (2a, 2a)\). - \(\overrightarrow{AD} = (0 - 0, 2a - 0) = (0, 2a)\). Bây giờ, ta tính tổng các vectơ: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = (2a, 0) + (2a, 2a) + (0, 2a) = (2a + 2a + 0, 0 + 2a + 2a) = (4a, 4a) \] Tiếp theo, ta tính độ dài của vectơ \((4a, 4a)\): \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}| = \sqrt{(4a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{16a^2 + 16a^2} = \sqrt{32a^2} = \sqrt{32} \cdot a = 4\sqrt{2}a \] Vậy, độ dài của vectơ \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}|\) là \(4\sqrt{2}a\). Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần phân tích vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\). Bước 1: Tìm tọa độ của điểm \(M\) Ta có phương trình vectơ: \[ \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \] Điều này có nghĩa là: \[ \overrightarrow{MB} = -2\overrightarrow{MC} \] Giả sử \(M\) có tọa độ \((x, y)\), \(B\) có tọa độ \((x_B, y_B)\), và \(C\) có tọa độ \((x_C, y_C)\). Khi đó: \[ \overrightarrow{MB} = (x_B - x, y_B - y) \] \[ \overrightarrow{MC} = (x_C - x, y_C - y) \] Thay vào phương trình: \[ (x_B - x, y_B - y) = -2(x_C - x, y_C - y) \] Từ đó, ta có hệ phương trình: \[ x_B - x = -2(x_C - x) \] \[ y_B - y = -2(y_C - y) \] Giải hệ phương trình này, ta được: \[ x_B - x = -2x_C + 2x \implies 3x = x_B + 2x_C \implies x = \frac{x_B + 2x_C}{3} \] \[ y_B - y = -2y_C + 2y \implies 3y = y_B + 2y_C \implies y = \frac{y_B + 2y_C}{3} \] Vậy tọa độ của điểm \(M\) là: \[ M\left(\frac{x_B + 2x_C}{3}, \frac{y_B + 2y_C}{3}\right) \] Bước 2: Phân tích \(\overrightarrow{AM}\) theo \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) Ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} \] Với: \[ \overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{MC} \] Thay \(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AM}\) vào, ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + 2(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AM}) \] Giải phương trình này: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AM} \] \[ 3\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \] Vậy vectơ \(\overrightarrow{AM}\) được phân tích theo \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) là: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \] Câu 5: Để xác định điểm \( E \) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+3\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}\), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Biểu diễn các vectơ từ \( E \) đến các điểm \( A, B, C, D \): Ta có: \[ \overrightarrow{EA} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{A} \] \[ \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{B} \] \[ \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{C} \] \[ \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{D} \] 2. Thay các biểu thức trên vào phương trình vectơ: \[ (\overrightarrow{E} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{E} - \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{E} - \overrightarrow{C}) + 3(\overrightarrow{E} - \overrightarrow{D}) = \overrightarrow{0} \] 3. Kết hợp các vectơ: \[ 6\overrightarrow{E} - (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + 3\overrightarrow{D}) = \overrightarrow{0} \] 4. Giải phương trình vectơ: \[ 6\overrightarrow{E} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + 3\overrightarrow{D} \] 5. Tìm vectơ \(\overrightarrow{E}\): \[ \overrightarrow{E} = \frac{1}{6}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + 3\overrightarrow{D}) \] Như vậy, điểm \( E \) là điểm chia trong của đoạn thẳng nối từ trọng tâm của tam giác \( ABC \) đến điểm \( D \) theo tỉ lệ \( 1:3 \). Điều này có nghĩa là \( E \) nằm trên đoạn thẳng nối từ trọng tâm của tam giác \( ABC \) đến điểm \( D \) và chia đoạn thẳng này theo tỉ lệ \( 1:3 \).