Giải hộ mình câu này với các bạnCâu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Câu 56: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\), ta cần sử dụng công thức tính tọa độ của vectơ từ hai điểm \(A(x_1, y_1)\) và \(B(x_2, y_2)\): \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \] Với \(A(1, -2)\) và \(B(0, 3)\), ta có: - \(x_1 = 1\), \(y_1 = -2\) - \(x_2 = 0\), \(y_2 = 3\) Áp dụng công thức: \[ \overrightarrow{AB} = (0 - 1, 3 - (-2)) = (-1, 3 + 2) = (-1, 5) \] Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là \((-1, 5)\). Do đó, đáp án đúng là \(B.~(-1;5)\). Câu 57: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính tọa độ của trung điểm đoạn thẳng \( AB \) và tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\). 1. Tính tọa độ trung điểm của đoạn \( AB \): Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm \( A(x_1, y_1) \) và \( B(x_2, y_2) \) có tọa độ được tính theo công thức: \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Với \( A(4, -5) \) và \( B(-1, 3) \), ta có: \[ M\left(\frac{4 + (-1)}{2}, \frac{-5 + 3}{2}\right) = M\left(\frac{3}{2}, -1\right) \] Vậy tọa độ trung điểm của đoạn \( AB \) là \(\left(\frac{3}{2}, -1\right)\). 2. Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\): Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) được tính bằng cách lấy tọa độ điểm \( B \) trừ đi tọa độ điểm \( A \): \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \] Với \( A(4, -5) \) và \( B(-1, 3) \), ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (-1 - 4, 3 - (-5)) = (-5, 8) \] Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là \((-5, 8)\). Kết luận: - Tọa độ trung điểm của đoạn \( AB \) là \(\left(\frac{3}{2}, -1\right)\), do đó khẳng định D là đúng. - Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là \((-5, 8)\), không có khẳng định nào trong các lựa chọn là đúng cho vectơ này. Vậy, khẳng định đúng là D. Câu 58: Để tìm tọa độ của đỉnh D của hình bình hành ABCD, ta sử dụng tính chất của hình bình hành: Trong hình bình hành, tổng các vector của hai đường chéo bằng nhau, tức là: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \] Từ đó, ta có thể suy ra: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] Với các tọa độ đã cho: - \( A(1, 3) \) - \( B(-2, 0) \) - \( C(2, -1) \) Ta tính các vector: \[ \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (-2 - 1, 0 - 3) = (-3, -3) \] \[ \overrightarrow{AC} = (C_x - A_x, C_y - A_y) = (2 - 1, -1 - 3) = (1, -4) \] Giả sử \( D(x, y) \), ta có: \[ \overrightarrow{AD} = (x - 1, y - 3) \] Theo tính chất của hình bình hành: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] Thay các vector vào phương trình: \[ (1, -4) = (-3, -3) + (x - 1, y - 3) \] Giải hệ phương trình: 1. \( 1 = -3 + (x - 1) \) 2. \(-4 = -3 + (y - 3) \) Giải phương trình thứ nhất: \[ 1 = -3 + x - 1 \implies x = 5 \] Giải phương trình thứ hai: \[ -4 = -3 + y - 3 \implies y = 2 \] Vậy tọa độ của điểm D là \( (5, 2) \). Đáp án đúng là A. \( (5, 2) \). Câu59: Để tìm tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác có ba đỉnh \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \) là: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) \] Với các tọa độ đã cho: - \( A(2, -5) \) - \( B(-7, 1) \) - \( C(8, -2) \) Ta thay vào công thức: \[ G\left(\frac{2 + (-7) + 8}{3}, \frac{-5 + 1 + (-2)}{3}\right) \] Tính toán từng phần: - Tọa độ \( x \) của trọng tâm: \[ \frac{2 + (-7) + 8}{3} = \frac{2 - 7 + 8}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] - Tọa độ \( y \) của trọng tâm: \[ \frac{-5 + 1 + (-2)}{3} = \frac{-5 + 1 - 2}{3} = \frac{-6}{3} = -2 \] Vậy tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) là \( G(1, -2) \). Do đó, đáp án đúng là \(\textcircled{B}~G(1;-2)\). Câu 60: Để tìm tọa độ điểm \( B(x;y) \) khi biết \( I(3;-1) \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \), ta sử dụng công thức trung điểm của đoạn thẳng trong mặt phẳng tọa độ. Công thức trung điểm \( I(x_I; y_I) \) của đoạn thẳng \( AB \) với \( A(x_A; y_A) \) và \( B(x_B; y_B) \) là: \[ x_I = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_I = \frac{y_A + y_B}{2} \] Áp dụng công thức này cho bài toán, ta có: - Với \( x_I = 3 \), \( x_A = -1 \), ta có: \[ 3 = \frac{-1 + x}{2} \] Giải phương trình này: \[ 3 \times 2 = -1 + x \implies 6 = -1 + x \implies x = 7 \] - Với \( y_I = -1 \), \( y_A = 2 \), ta có: \[ -1 = \frac{2 + y}{2} \] Giải phương trình này: \[ -1 \times 2 = 2 + y \implies -2 = 2 + y \implies y = -4 \] Vậy tọa độ điểm \( B \) là \( (7; -4) \). Do đó, đáp án đúng là \(\textcircled{C.}~(7;-4)\). Câu 61: Để tìm tọa độ đỉnh \( C \) của tam giác \( ABC \), ta sử dụng tính chất của trọng tâm tam giác. Trọng tâm \( G \) của tam giác có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ ba đỉnh của tam giác. Cụ thể, nếu \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), và \( C(x_3, y_3) \) là ba đỉnh của tam giác, thì tọa độ của trọng tâm \( G \) được tính như sau: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) \] Với \( A(6, 1) \), \( B(-3, 5) \), và \( G(-1, 1) \), ta có: \[ \frac{6 + (-3) + x_3}{3} = -1 \] \[ \frac{1 + 5 + y_3}{3} = 1 \] Giải phương trình thứ nhất: \[ \frac{3 + x_3}{3} = -1 \implies 3 + x_3 = -3 \implies x_3 = -6 \] Giải phương trình thứ hai: \[ \frac{6 + y_3}{3} = 1 \implies 6 + y_3 = 3 \implies y_3 = -3 \] Vậy tọa độ của điểm \( C \) là \( (-6, -3) \). Do đó, đáp án đúng là \(\textcircled{C.}~C(-6;-3).\) Câu 62: Để xác định tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{2i} + \overrightarrow{3j}\), ta cần hiểu rằng véc tơ này được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ đơn vị \(\overrightarrow{i}\) và \(\overrightarrow{j}\). 1. Véc tơ \(\overrightarrow{i}\) là véc tơ đơn vị theo trục hoành (trục \(x\)), có tọa độ là \((1; 0)\). 2. Véc tơ \(\overrightarrow{j}\) là véc tơ đơn vị theo trục tung (trục \(y\)), có tọa độ là \((0; 1)\). Khi biểu diễn véc tơ \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{2i} + \overrightarrow{3j}\), ta có: - Thành phần theo trục \(x\) là \(2\), vì \(\overrightarrow{2i} = 2 \cdot \overrightarrow{i}\) và \(\overrightarrow{i}\) có tọa độ \((1; 0)\). - Thành phần theo trục \(y\) là \(3\), vì \(\overrightarrow{3j} = 3 \cdot \overrightarrow{j}\) và \(\overrightarrow{j}\) có tọa độ \((0; 1)\). Do đó, tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow{a}\) là \((2; 3)\). Vậy đáp án đúng là \(\textcircled{A.}~(2;3)\). Câu 63: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}\), ta cần hiểu rằng vectơ \(\overrightarrow{u}\) được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i}\) và \(\overrightarrow{j}\). Trong hệ tọa độ Oxy, vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i}\) có tọa độ là \((1, 0)\) và vectơ đơn vị \(\overrightarrow{j}\) có tọa độ là \((0, 1)\). Vectơ \(\overrightarrow{u}\) được cho bởi: \[ \overrightarrow{u} = \frac{1}{2} \overrightarrow{i} - 5 \overrightarrow{j} \] Tọa độ của \(\overrightarrow{u}\) được tính bằng cách nhân các hệ số với tọa độ của các vectơ đơn vị tương ứng và cộng lại: - Phần x: \(\frac{1}{2} \times 1 + (-5) \times 0 = \frac{1}{2}\) - Phần y: \(\frac{1}{2} \times 0 + (-5) \times 1 = -5\) Do đó, tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}\) là \(\left(\frac{1}{2}, -5\right)\). Vậy đáp án đúng là \(\textcircled{B}~\overrightarrow{u}=\left(\frac{1}{2}, -5\right)\). Câu 64: Để xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a} = 8\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{i}\), ta cần hiểu rằng: - \(\overrightarrow{i}\) là vectơ đơn vị theo trục Ox, có tọa độ là \((1, 0)\). - \(\overrightarrow{j}\) là vectơ đơn vị theo trục Oy, có tọa độ là \((0, 1)\). Do đó, vectơ \(-3\overrightarrow{i}\) có tọa độ là \((-3, 0)\) và vectơ \(8\overrightarrow{j}\) có tọa độ là \((0, 8)\). Khi cộng hai vectơ này lại, ta có: \[ \overrightarrow{a} = -3\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{j} = (-3, 0) + (0, 8) = (-3 + 0, 0 + 8) = (-3, 8) \] Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là \((-3, 8)\). Do đó, đáp án đúng là \(\textcircled{A.}~\overrightarrow{a} = (-3, 8)\). Câu 65: Để tìm độ dài của vectơ \(\overrightarrow{BC}\), ta cần sử dụng công thức tính độ dài của vectơ trong mặt phẳng Oxy. Công thức này là: \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} \] Với \(B(-1, 3)\) và \(C(3, 1)\), ta có: - \(x_B = -1\), \(y_B = 3\) - \(x_C = 3\), \(y_C = 1\) Thay các giá trị này vào công thức, ta được: \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 3)^2} \] Tính từng phần: - \(3 - (-1) = 3 + 1 = 4\) - \(1 - 3 = -2\) Do đó: \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \] Ta có thể đơn giản hóa \(\sqrt{20}\) như sau: \[ \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \] Vậy độ dài của vectơ \(\overrightarrow{BC}\) là \(2\sqrt{5}\). Do đó, đáp án đúng là \(\textcircled{B.}~2\sqrt{5}\). Câu 66: Để xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\), ta cần sử dụng công thức tính tọa độ của vectơ từ hai điểm \(A(x_1, y_1)\) và \(B(x_2, y_2)\): \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \] Với \(A(1, 3)\) và \(B(0, 6)\), ta có: - \(x_1 = 1\), \(y_1 = 3\) - \(x_2 = 0\), \(y_2 = 6\) Áp dụng công thức: \[ \overrightarrow{AB} = (0 - 1, 6 - 3) = (-1, 3) \] Vậy, tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là \((-1, 3)\). Do đó, khẳng định đúng là \(\textcircled{D.}~\overrightarrow{AB}=(-1;3)\). Câu 67: Chúng ta sẽ giải từng bài toán một cách chi tiết. Bài toán 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2; 5)$ và $\overrightarrow{b} = (-3; 1)$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a} = (x_1, y_1)$ và $\overrightarrow{b} = (x_2, y_2)$ được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \] Áp dụng công thức trên: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot (-3) + 5 \cdot 1 = -6 + 5 = -1 \] Vậy, giá trị của $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ là $-1$. Đáp án đúng là D. Bài toán 2: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{j} - 2\overrightarrow{i}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$. Biểu diễn vectơ dưới dạng tọa độ: - $\overrightarrow{u} = (1, 3)$ - $\overrightarrow{v} = (-2, 2)$ Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot (-2) + 3 \cdot 2 = -2 + 6 = 4 \] Vậy, giá trị của $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ là $4$. Đáp án đúng là B. Bài toán 3: Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $4a$. Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Trong tam giác đều, góc giữa hai cạnh bất kỳ là $60^\circ$. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(60^\circ) \] Vì tam giác đều có cạnh bằng $4a$, nên $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = 4a$. Và $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Áp dụng công thức: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4a \cdot 4a \cdot \frac{1}{2} = 8a^2 \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là $8a^2$. Đáp án đúng là A. Bài toán 4: Cho $A(0;3)$, $B(4;0)$, $C(-2;-5)$. Tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$. Tính tọa độ của các vectơ: - $\overrightarrow{AB} = (4 - 0, 0 - 3) = (4, -3)$ - $\overrightarrow{BC} = (-2 - 4, -5 - 0) = (-6, -5)$ Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 4 \cdot (-6) + (-3) \cdot (-5) = -24 + 15 = -9 \] Vậy, giá trị của $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ là $-9$. Đáp án đúng là D.