Sự di chuyển của một đội cứu trợ bão Yinxing tại một huyện của Philippines được thể hiện trên một
mặt phẳng tọa độ như sau: Đội cứu hộ đặt vị trí trạm cứu hộ tại điểm A(x;0); đội phải di chuyển từ vị trí A
đến nhà văn hóa của huyện ở vị trí B(12;−4) để đưa người bị nạn đến bệnh viện huyện ở vị trí C(13;−6);
sau khi hoàn thành xong nhiệm vụ họ quay trở về vị trí A . Tìm x để quãng đường độ cứu trợ phải di chuyển
là ngắn nhất.

Question

Timi · Accepted Answer

Để tìm giá trị của $ x $ sao cho quãng đường đội cứu trợ phải di chuyển là ngắn nhất, ta cần tính tổng quãng đường từ $ A $ đến $ B $, từ $ B $ đến $ C $, và từ $ C $ trở về $ A $. Cụ thể, ta cần tính tổng độ dài các đoạn thẳng $ AB $, $ BC $, và $ CA $.

1. Tính độ dài đoạn thẳng $ AB $:

Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ:
   $$
   AB = \sqrt{(12 - x)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{(12 - x)^2 + 16}
   $$

2. Tính độ dài đoạn thẳng $ BC $:

$$
   BC = \sqrt{(13 - 12)^2 + (-6 + 4)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
   $$

3. Tính độ dài đoạn thẳng $ CA $:

$$
   CA = \sqrt{(13 - x)^2 + (-6 - 0)^2} = \sqrt{(13 - x)^2 + 36}
   $$

4. Tổng quãng đường cần di chuyển:

Tổng quãng đường $ S $ là:
   $$
   S = AB + BC + CA = \sqrt{(12 - x)^2 + 16} + \sqrt{5} + \sqrt{(13 - x)^2 + 36}
   $$

5. Tìm giá trị $ x $ để $ S $ nhỏ nhất:

Để tổng quãng đường $ S $ nhỏ nhất, ta cần tối ưu hóa biểu thức này. Tuy nhiên, do không sử dụng đạo hàm, ta có thể sử dụng phương pháp hình học.

Nhận thấy rằng, để tổng quãng đường ngắn nhất, điểm $ A $ nên nằm trên đường thẳng nối giữa điểm $ B $ và điểm đối xứng của $ C $ qua trục hoành. Điểm đối xứng của $ C(13, -6) $ qua trục hoành là $ C&#x27;(13, 6) $.

Phương trình đường thẳng $ BC&#x27; $ là:
   $$
   y = \frac{6 - (-4)}{13 - 12}(x - 12) - 4 = 10(x - 12) - 4 = 10x - 124
   $$

Để $ A(x, 0) $ nằm trên đường thẳng này, ta có:
   $$
   0 = 10x - 124 \implies 10x = 124 \implies x = 12.4
   $$

Tuy nhiên, $ x $ phải là một số nguyên vì tọa độ thường là số nguyên trong bài toán thực tế. Do đó, ta thử $ x = 12 $ và $ x = 13 $ để tìm giá trị gần nhất.

- Với $ x = 12 $:
     $$
     S = \sqrt{(12 - 12)^2 + 16} + \sqrt{5} + \sqrt{(13 - 12)^2 + 36} = \sqrt{16} + \sqrt{5} + \sqrt{37} = 4 + \sqrt{5} + \sqrt{37}
     $$

- Với $ x = 13 $:
     $$
     S = \sqrt{(12 - 13)^2 + 16} + \sqrt{5} + \sqrt{(13 - 13)^2 + 36} = \sqrt{17} + \sqrt{5} + 6
     $$

So sánh hai giá trị này, ta thấy $ S $ nhỏ hơn khi $ x = 12 $.

Vậy, giá trị của $ x $ để quãng đường di chuyển là ngắn nhất là $ x = 12 $.

Sự di chuyển của một đội cứu trợ bão Yinxing tại một huyện của Philippines được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Đội cứu hộ đặt vị trí trạm cứu hộ tại điểm A(x;0); đội phải di chuyển từ vị t...