Dog ko giúp

Câu 56: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\), ta cần sử dụng công thức tính tọa độ của vectơ khi biết tọa độ của hai điểm \(A(x_1, y_1)\) và \(B(x_2, y_2)\): \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \] Với điểm \(A(1, -2)\) và điểm \(B(0, 3)\), ta có: - \(x_1 = 1\), \(y_1 = -2\) - \(x_2 = 0\), \(y_2 = 3\) Áp dụng công thức: \[ \overrightarrow{AB} = (0 - 1, 3 - (-2)) = (-1, 3 + 2) = (-1, 5) \] Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là \((-1, 5)\). Do đó, đáp án đúng là \(B.~(-1;5)\). Câu 57: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính toán tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) và tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\). 1. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \( AB \): Trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AB \) có tọa độ được tính theo công thức: \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] với \( A(4, -5) \) và \( B(-1, 3) \), ta có: \[ M\left(\frac{4 + (-1)}{2}, \frac{-5 + 3}{2}\right) = M\left(\frac{3}{2}, -1\right) \] Vậy tọa độ trung điểm của đoạn \( AB \) là \(\left(\frac{3}{2}, -1\right)\). 2. Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\): Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \] với \( A(4, -5) \) và \( B(-1, 3) \), ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (-1 - 4, 3 - (-5)) = (-5, 8) \] Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là \((-5, 8)\). Kết luận: - Khẳng định A sai vì tọa độ trung điểm không phải là \((3, -2)\). - Khẳng định B đúng vì tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là \((-5, 8)\). - Khẳng định C sai vì tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) không phải là \((5, -8)\). - Khẳng định D đúng vì tọa độ trung điểm của đoạn \( AB \) là \(\left(\frac{3}{2}, -1\right)\). Vậy, khẳng định đúng là B và D. Câu 58: Để tìm tọa độ của đỉnh D của hình bình hành ABCD, ta sử dụng tính chất của hình bình hành: Trong hình bình hành, tổng các tọa độ của hai đỉnh đối diện bằng tổng các tọa độ của hai đỉnh còn lại. Cho các đỉnh \( A(1;3) \), \( B(-2;0) \), \( C(2;-1) \). Ta cần tìm tọa độ của đỉnh \( D(x;y) \). Theo tính chất của hình bình hành, ta có: \[ \vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{BD} \] Tính các vector: - \(\vec{AB} = B - A = (-2 - 1; 0 - 3) = (-3; -3)\) - \(\vec{AC} = C - A = (2 - 1; -1 - 3) = (1; -4)\) Để tìm \(\vec{CD}\) và \(\vec{BD}\), ta cần biết tọa độ của \(D\). Tuy nhiên, ta có thể sử dụng tính chất khác của hình bình hành: Tổng tọa độ của hai đỉnh đối diện bằng tổng tọa độ của hai đỉnh còn lại. Do đó, ta có: \[ A + C = B + D \] Thay tọa độ vào, ta có: \[ (1; 3) + (2; -1) = (-2; 0) + (x; y) \] Tính tổng: \[ (1 + 2; 3 - 1) = (3; 2) \] Do đó: \[ (3; 2) = (-2 + x; 0 + y) \] Từ đó, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} -2 + x = 3 \\ 0 + y = 2 \end{cases} \] Giải hệ phương trình: - Từ phương trình thứ nhất: \(x = 3 + 2 = 5\) - Từ phương trình thứ hai: \(y = 2\) Vậy tọa độ của đỉnh \(D\) là \((5; 2)\). Đáp án đúng là \(A.~(5;2)\). Câu59: Để tìm tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác có ba đỉnh \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \) là: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) \] Với các tọa độ đã cho: - \( A(2, -5) \) - \( B(-7, 1) \) - \( C(8, -2) \) Ta thay vào công thức: \[ G\left(\frac{2 + (-7) + 8}{3}, \frac{-5 + 1 + (-2)}{3}\right) \] Tính toán từng phần: 1. Tọa độ \( x \) của trọng tâm: \[ \frac{2 + (-7) + 8}{3} = \frac{2 - 7 + 8}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] 2. Tọa độ \( y \) của trọng tâm: \[ \frac{-5 + 1 + (-2)}{3} = \frac{-5 + 1 - 2}{3} = \frac{-6}{3} = -2 \] Vậy tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) là \( G(1, -2) \). Do đó, đáp án đúng là \(\textcircled{B}~G(1;-2)\). Câu 60: Để tìm tọa độ điểm \( B(x;y) \) khi biết \( I(3;-1) \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \), ta sử dụng công thức trung điểm của đoạn thẳng trong mặt phẳng tọa độ. Công thức trung điểm \( I(x_i; y_i) \) của đoạn thẳng \( AB \) với \( A(x_1; y_1) \) và \( B(x_2; y_2) \) là: \[ x_i = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_i = \frac{y_1 + y_2}{2} \] Áp dụng công thức này cho bài toán, ta có: - Với \( x_i = 3 \), \( x_1 = -1 \), ta có: \[ 3 = \frac{-1 + x}{2} \] Giải phương trình này: \[ 3 \times 2 = -1 + x \implies 6 = -1 + x \implies x = 7 \] - Với \( y_i = -1 \), \( y_1 = 2 \), ta có: \[ -1 = \frac{2 + y}{2} \] Giải phương trình này: \[ -1 \times 2 = 2 + y \implies -2 = 2 + y \implies y = -4 \] Vậy tọa độ điểm \( B \) là \( (7; -4) \). Do đó, đáp án đúng là \(\textcircled{C.}~(7;-4)\). Câu 61: Để tìm tọa độ đỉnh \( C \) của tam giác \( ABC \), ta sử dụng tính chất của trọng tâm tam giác. Trọng tâm \( G \) của tam giác có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ ba đỉnh: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) \] Với \( A(6;1) \), \( B(-3;5) \), và \( G(-1;1) \), ta có: \[ \frac{6 + (-3) + x_C}{3} = -1 \] \[ \frac{1 + 5 + y_C}{3} = 1 \] Giải phương trình thứ nhất: \[ \frac{3 + x_C}{3} = -1 \implies 3 + x_C = -3 \implies x_C = -6 \] Giải phương trình thứ hai: \[ \frac{6 + y_C}{3} = 1 \implies 6 + y_C = 3 \implies y_C = -3 \] Vậy tọa độ của điểm \( C \) là \( C(-6; -3) \). Do đó, đáp án đúng là \(\textcircled{C.}~C(-6;-3)\). Câu 62: Để xác định tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{2i} + \overrightarrow{3j}\), ta cần hiểu rằng véc tơ này được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ đơn vị \(\overrightarrow{i}\) và \(\overrightarrow{j}\). 1. Véc tơ \(\overrightarrow{i}\) là véc tơ đơn vị theo trục hoành (trục \(x\)), có tọa độ là \((1; 0)\). 2. Véc tơ \(\overrightarrow{j}\) là véc tơ đơn vị theo trục tung (trục \(y\)), có tọa độ là \((0; 1)\). Véc tơ \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{2i} + \overrightarrow{3j}\) có nghĩa là: - Thành phần theo trục \(x\) là \(2\) lần véc tơ \(\overrightarrow{i}\), tức là \(2 \times 1 = 2\). - Thành phần theo trục \(y\) là \(3\) lần véc tơ \(\overrightarrow{j}\), tức là \(3 \times 1 = 3\). Do đó, tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow{a}\) là \((2; 3)\). Vậy đáp án đúng là \(\textcircled{A.}~(2;3).\) Câu 63: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}\), ta cần hiểu rằng vectơ \(\overrightarrow{u}\) được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i}\) và \(\overrightarrow{j}\). Trong hệ tọa độ Oxy, vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i}\) có tọa độ là \((1, 0)\) và vectơ đơn vị \(\overrightarrow{j}\) có tọa độ là \((0, 1)\). Vectơ \(\overrightarrow{u}\) được cho bởi: \[ \overrightarrow{u} = \frac{1}{2} \overrightarrow{i} - 5 \overrightarrow{j} \] Ta sẽ tính tọa độ của \(\overrightarrow{u}\) bằng cách nhân các hệ số với tọa độ của các vectơ đơn vị tương ứng và cộng lại: 1. Phần \(\frac{1}{2} \overrightarrow{i}\) có tọa độ là: \[ \left(\frac{1}{2} \times 1, \frac{1}{2} \times 0\right) = \left(\frac{1}{2}, 0\right) \] 2. Phần \(-5 \overrightarrow{j}\) có tọa độ là: \[ \left(-5 \times 0, -5 \times 1\right) = (0, -5) \] 3. Cộng hai kết quả trên lại để tìm tọa độ của \(\overrightarrow{u}\): \[ \left(\frac{1}{2} + 0, 0 - 5\right) = \left(\frac{1}{2}, -5\right) \] Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}\) là \(\left(\frac{1}{2}, -5\right)\). Do đó, đáp án đúng là \(\textcircled{B}~\overrightarrow{u} = \left(\frac{1}{2}, -5\right)\). Câu 64: Để xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a} = 8\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{i}\), ta cần hiểu rằng: - Vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i}\) có tọa độ là \((1, 0)\), nghĩa là nó nằm dọc theo trục Ox. - Vectơ đơn vị \(\overrightarrow{j}\) có tọa độ là \((0, 1)\), nghĩa là nó nằm dọc theo trục Oy. Do đó, vectơ \(\overrightarrow{a} = 8\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{i}\) có thể được viết lại dưới dạng tọa độ như sau: - Thành phần theo trục Ox là \(-3\) (do \(-3\overrightarrow{i}\)). - Thành phần theo trục Oy là \(8\) (do \(8\overrightarrow{j}\)). Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là \((-3, 8)\). Do đó, đáp án đúng là \(\textcircled{A.}~\overrightarrow{a} = (-3, 8)\). Câu 65: Để tìm độ dài của vectơ \(\overrightarrow{BC}\), ta sử dụng công thức tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\) là: \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Với \(B(-1, 3)\) và \(C(3, 1)\), ta có: - \(x_1 = -1\), \(y_1 = 3\) - \(x_2 = 3\), \(y_2 = 1\) Thay vào công thức, ta tính: \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 3)^2} \] \[ = \sqrt{(3 + 1)^2 + (1 - 3)^2} \] \[ = \sqrt{4^2 + (-2)^2} \] \[ = \sqrt{16 + 4} \] \[ = \sqrt{20} \] \[ = \sqrt{4 \times 5} \] \[ = 2\sqrt{5} \] Vậy độ dài của vectơ \(\overrightarrow{BC}\) là \(2\sqrt{5}\). Do đó, đáp án đúng là \(\textcircled{B.}~2\sqrt{5}\). Câu 66: Để xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\), ta cần sử dụng công thức tính tọa độ của vectơ từ hai điểm \(A(x_1, y_1)\) và \(B(x_2, y_2)\): \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \] Với \(A(1, 3)\) và \(B(0, 6)\), ta có: - \(x_1 = 1\), \(y_1 = 3\) - \(x_2 = 0\), \(y_2 = 6\) Áp dụng công thức: \[ \overrightarrow{AB} = (0 - 1, 6 - 3) = (-1, 3) \] Vậy, tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là \((-1, 3)\). Do đó, khẳng định đúng là \(\textcircled{D.}~\overrightarrow{AB}=(-1;3).\) Câu 67: Để tìm giá trị của tích vô hướng (hay còn gọi là tích chấm) của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \] Với \(\overrightarrow{a} = (2; 5)\) và \(\overrightarrow{b} = (-3; 1)\), ta có: - \(a_1 = 2\), \(a_2 = 5\) - \(b_1 = -3\), \(b_2 = 1\) Áp dụng công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot (-3) + 5 \cdot 1 \] Tính từng phần: - \(2 \cdot (-3) = -6\) - \(5 \cdot 1 = 5\) Cộng hai kết quả lại: \[ -6 + 5 = -1 \] Vậy, giá trị của \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) là \(-1\). Do đó, đáp án đúng là D. -1. Câu 68: Để tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\), ta sử dụng công thức: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y \] Với \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j}\), ta có: - \(u_x = 1\) - \(u_y = 3\) Với \(\overrightarrow{v} = -2\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}\), ta có: - \(v_x = -2\) - \(v_y = 2\) Áp dụng công thức tích vô hướng: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (1) \cdot (-2) + (3) \cdot (2) \] Tính từng phần: - \(1 \cdot (-2) = -2\) - \(3 \cdot 2 = 6\) Cộng hai kết quả lại: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = -2 + 6 = 4 \] Vậy, \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 4\). Do đó, đáp án đúng là \(\textcircled{B.}~\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 4\). Câu 69: Để giải bài toán này, ta cần tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) trong tam giác đều \(ABC\). 1. Xác định tọa độ các điểm: Giả sử tam giác đều \(ABC\) nằm trong mặt phẳng tọa độ với điểm \(A\) tại gốc tọa độ \(A(0, 0)\). Vì tam giác đều có cạnh bằng \(4a\), ta có thể đặt: - Điểm \(B(4a, 0)\) trên trục hoành. - Điểm \(C\) sẽ nằm trên đường tròn có tâm \(A\) và bán kính \(4a\), đồng thời tạo với \(AB\) một góc \(60^\circ\). 2. Tính tọa độ điểm \(C\): Do tam giác đều, góc \(\angle BAC = 60^\circ\). Sử dụng công thức tọa độ trong mặt phẳng, ta có: - \(C\) có tọa độ \((4a \cos 60^\circ, 4a \sin 60^\circ)\). - \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) và \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Vậy tọa độ của \(C\) là: \[ C\left(4a \cdot \frac{1}{2}, 4a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = (2a, 2a\sqrt{3}) \] 3. Tính vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): - \(\overrightarrow{AB} = (4a - 0, 0 - 0) = (4a, 0)\) - \(\overrightarrow{AC} = (2a - 0, 2a\sqrt{3} - 0) = (2a, 2a\sqrt{3})\) 4. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\): Tích vô hướng của hai vectơ \((x_1, y_1)\) và \((x_2, y_2)\) được tính bằng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \] Áp dụng vào bài toán: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4a \cdot 2a + 0 \cdot 2a\sqrt{3} = 8a^2 \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) là \(8a^2\). Đáp án đúng là \(A.~8a^2\). Câu 70: Để tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BC}\), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\): Tọa độ của điểm \(A\) là \((0, 3)\) và tọa độ của điểm \(B\) là \((4, 0)\). Vectơ \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (4 - 0, 0 - 3) = (4, -3)\). 2. Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{BC}\): Tọa độ của điểm \(B\) là \((4, 0)\) và tọa độ của điểm \(C\) là \((-2, -5)\). Vectơ \(\overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (-2 - 4, -5 - 0) = (-6, -5)\). 3. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\): Tích vô hướng của hai vectơ \((x_1, y_1)\) và \((x_2, y_2)\) được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \] Áp dụng công thức trên, ta có: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 4 \cdot (-6) + (-3) \cdot (-5) = -24 + 15 = -9 \] Vậy, \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -9\). Đáp án đúng là D. -9.