cho tam giác ABC có A(1;3) ;B(-3;1);C(5;-6).Tìm tọa độ điểm E trên Ox sao cho EA+EB đạt GTNN

Question

Ngô Giai Di · Accepted Answer

Timi · Answer

Để tìm tọa độ điểm $ E $ trên trục hoành $ Ox $ sao cho tổng khoảng cách từ $ E $ đến $ A $ và $ B $ đạt giá trị nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ điểm $ E $:

Vì $ E $ nằm trên trục hoành $ Ox $, nên tọa độ của $ E $ có dạng $ E(x, 0) $.

2. Biểu diễn khoảng cách từ $ E $ đến $ A $ và $ B $:

- Khoảng cách từ $ E(x, 0) $ đến $ A(1, 3) $ là:
     $$
     EA = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 9}
     $$

- Khoảng cách từ $ E(x, 0) $ đến $ B(-3, 1) $ là:
     $$
     EB = \sqrt{(x + 3)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(x + 3)^2 + 1}
     $$

3. Tổng khoảng cách cần tối thiểu hóa:

Tổng khoảng cách từ $ E $ đến $ A $ và $ B $ là:
   $$
   S = EA + EB = \sqrt{(x - 1)^2 + 9} + \sqrt{(x + 3)^2 + 1}
   $$

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ S $:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ S $, ta cần xét sự thay đổi của $ S $ theo $ x $. Tuy nhiên, do không sử dụng đạo hàm, ta sẽ sử dụng phương pháp hình học.

- Xét đường thẳng $ AB $ và tìm điểm đối xứng của $ A $ qua $ Ox $, gọi là $ A&#x27;(1, -3) $.
   - Khi đó, điểm $ E $ nằm trên $ Ox $ sao cho $ EA + EB $ đạt giá trị nhỏ nhất khi $ E $ nằm trên đường thẳng $ A&#x27;B $.

5. Phương trình đường thẳng $ A&#x27;B $:

- Tính hệ số góc của đường thẳng $ A&#x27;B $:
     $$
     m = \frac{-3 - 1}{1 + 3} = -1
     $$

- Phương trình đường thẳng $ A&#x27;B $ đi qua $ A&#x27;(1, -3) $ là:
     $$
     y + 3 = -1(x - 1) \Rightarrow y = -x - 2
     $$

6. Tìm giao điểm của $ A&#x27;B $ với $ Ox $:

- Trên $ Ox $, $ y = 0 $, do đó:
     $$
     0 = -x - 2 \Rightarrow x = -2
     $$

Vậy, tọa độ điểm $ E $ là $ (-2, 0) $.

7. Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách $ EA + EB $ đạt được khi $ E $ có tọa độ $ (-2, 0) $.