giúp tôi với

Câu a: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 2x^3 + 3x^2 - 1 \) trên đoạn \(\left[ -\frac{1}{2}; 3 \right]\). 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = 6x^2 + 6x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 6x^2 + 6x = 0 \implies 6x(x + 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = -1 \] 3. Kiểm tra các điểm tới hạn trong khoảng \(\left[ -\frac{1}{2}; 3 \right]\): - Các điểm tới hạn là \( x = 0 \) và \( x = -1 \). Tuy nhiên, \( x = -1 \) không nằm trong khoảng \(\left[ -\frac{1}{2}; 3 \right]\), nên chỉ xét \( x = 0 \). 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = -\frac{1}{2} \): \[ y\left( -\frac{1}{2} \right) = 2\left( -\frac{1}{2} \right)^3 + 3\left( -\frac{1}{2} \right)^2 - 1 = 2\left( -\frac{1}{8} \right) + 3\left( \frac{1}{4} \right) - 1 = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{2} \] - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 1 = -1 \] - Tại \( x = 3 \): \[ y(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 1 = 2(27) + 3(9) - 1 = 54 + 27 - 1 = 80 \] 5. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ -\frac{1}{2}; 3 \right]\) là \( 80 \), đạt được khi \( x = 3 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ -\frac{1}{2}; 3 \right]\) là \( -1 \), đạt được khi \( x = 0 \). Câu b: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{3x - 5}{2x + 1} \) trên đoạn \([-3; -1]\). 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(3)(2x + 1) - (3x - 5)(2)}{(2x + 1)^2} = \frac{6x + 3 - 6x + 10}{(2x + 1)^2} = \frac{13}{(2x + 1)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{13}{(2x + 1)^2} = 0 \quad (\text{không có nghiệm}) \] 3. Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = -3 \): \[ y(-3) = \frac{3(-3) - 5}{2(-3) + 1} = \frac{-9 - 5}{-6 + 1} = \frac{-14}{-5} = \frac{14}{5} \] - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = \frac{3(-1) - 5}{2(-1) + 1} = \frac{-3 - 5}{-2 + 1} = \frac{-8}{-1} = 8 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-3; -1]\) là \( 8 \), đạt được khi \( x = -1 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-3; -1]\) là \( \frac{14}{5} \), đạt được khi \( x = -3 \). Câu c: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2} \) trên đoạn \([3; 7]\). 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(2x - 2)(x - 2) - (x^2 - 2x + 4)}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - 2x + 4 - x^2 + 2x - 4}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x}{(x - 2)^2} = \frac{x(x - 4)}{(x - 2)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{x(x - 4)}{(x - 2)^2} = 0 \implies x(x - 4) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 4 \] 3. Kiểm tra các điểm tới hạn trong khoảng \([3; 7]\): - Các điểm tới hạn là \( x = 0 \) và \( x = 4 \). Tuy nhiên, \( x = 0 \) không nằm trong khoảng \([3; 7]\), nên chỉ xét \( x = 4 \). 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 3 \): \[ y(3) = \frac{3^2 - 2(3) + 4}{3 - 2} = \frac{9 - 6 + 4}{1} = 7 \] - Tại \( x = 4 \): \[ y(4) = \frac{4^2 - 2(4) + 4}{4 - 2} = \frac{16 - 8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] - Tại \( x = 7 \): \[ y(7) = \frac{7^2 - 2(7) + 4}{7 - 2} = \frac{49 - 14 + 4}{5} = \frac{39}{5} = 7.8 \] 5. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([3; 7]\) là \( 7.8 \), đạt được khi \( x = 7 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([3; 7]\) là \( 6 \), đạt được khi \( x = 4 \). Câu d: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \sqrt{-x^2 + x + 12} \). 1. Tìm điều kiện xác định của hàm số: \[ -x^2 + x + 12 \geq 0 \implies x^2 - x - 12 \leq 0 \implies (x - 4)(x + 3) \leq 0 \implies -3 \leq x \leq 4 \] 2. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{-x^2 + x + 12}} \cdot (-2x + 1) = \frac{-2x + 1}{2\sqrt{-x^2 + x + 12}} \] 3. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{-2x + 1}{2\sqrt{-x^2 + x + 12}} = 0 \implies -2x + 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \] 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = -3 \): \[ y(-3) = \sqrt{-(-3)^2 + (-3) + 12} = \sqrt{-9 - 3 + 12} = \sqrt{0} = 0 \] - Tại \( x = \frac{1}{2} \): \[ y\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{-\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} + 12} = \sqrt{-\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 12} = \sqrt{\frac{1}{4} + 12} = \sqrt{12.25} = 3.5 \] - Tại \( x = 4 \): \[ y(4) = \sqrt{-4^2 + 4 + 12} = \sqrt{-16 + 4 + 12} = \sqrt{0} = 0 \] 5. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất của hàm số là \( 3.5 \), đạt được khi \( x = \frac{1}{2} \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( 0 \), đạt được khi \( x = -3 \) hoặc \( x = 4 \).