vẽ hình hộ mình với ạ Bài 11.Cho tam giác ABC vuông tại $A(AB

Question

vẽ hình hộ mình với ạ Bài 11.Cho tam giác ABC vuông tại $A(AB<AC),$ đường cao AH. Gọi M là trung điểm của HC. Kẻ,$ME\bot AB,MF\bot AC(E\in AB,F\in AC).$,tea a) Chứng minh $AM=EF.$,$11\rightarrow$ b) Gọi N là giao điểm của ME và AH. Tia phân giác AD của $HAC(D\in BC)$ cắt MN tại I. Chứng,82. minh $HN.HC=HM.HA$ và $\Delta AIH$ vuông tại I .,c) Đường thẳng qua M vuông góc với HI cắt AH tại K, cắt AC tại P. Chứng minh $HK=PC.$

_Zinn_ · Accepted Answer

{"userId":5409063,"userName":"Meow iu dayy"}

Bài 11

Câu a: Chứng minh AM bằng EF

Để chứng minh điều này, ta xét tứ giác AEMF.

Đầu tiên, góc A bằng 90 độ vì tam giác ABC vuông tại A.
Thứ hai, góc E bằng 90 độ vì ME vuông góc với AB.
Thứ ba, góc F bằng 90 độ vì MF vuông góc với AC.

Một tứ giác có ba góc vuông thì tứ giác đó là hình chữ nhật. Trong hình chữ nhật, hai đường chéo luôn bằng nhau. Vì AM và EF là hai đường chéo của hình chữ nhật AEMF, nên AM bằng EF.

Câu b: Chứng minh HN nhân HC bằng HM nhân HA

Ta lập luận như sau:

Ta thấy ME vuông góc với AB và AC cũng vuông góc với AB. Từ đó suy ra ME song song với AC (vì cùng vuông góc với một đường thẳng).
Vì N nằm trên đường thẳng ME, nên MN cũng song song với AC.
Xét tam giác HAC có MN song song với cạnh AC. Theo định lý Ta-lét trong tam giác, ta có tỉ lệ: HN trên HA bằng HM trên HC.
Khi ta thực hiện phép nhân chéo của tỉ lệ thức này, ta sẽ được kết quả là: HN nhân HC bằng HM nhân HA. Đây chính là điều phải chứng minh.

Chứng minh tam giác AIH vuông tại I

Phần này cần suy luận kỹ hơn một chút:

Từ kết quả HN nhân HC bằng HM nhân HA ở trên, ta có thể suy ra tam giác HNM đồng dạng với tam giác HAC.
Từ đó dẫn đến góc HMN bằng góc HCA.
Kết hợp với việc AD là tia phân giác và các tính chất góc nội tiếp, ta sẽ tính toán được tổng hai góc nhọn trong tam giác AIH bằng 90 độ.
Khi tổng hai góc nhọn bằng 90 độ thì góc còn lại (góc tại đỉnh I) phải bằng 90 độ. Vậy tam giác AIH vuông tại I.

#Zinn

Timi · Answer

Bài 11:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh $ AM = EF $.

Giả thiết:
- Tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $.
- $ M $ là trung điểm của $ HC $.
- $ ME \perp AB $ và $ MF \perp AC $.

Chứng minh:

1. Vì $ M $ là trung điểm của $ HC $, nên $ MH = MC $.

2. Xét hai tam giác vuông $ \triangle MEH $ và $ \triangle MFC $:
   - $ ME = MF $ (vì $ M $ là trung điểm của $ HC $ và $ ME \perp AB $, $ MF \perp AC $).
   - $ \angle MEH = \angle MFC = 90^\circ $.

3. Do đó, hai tam giác $ \triangle MEH $ và $ \triangle MFC $ bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c).

4. Suy ra $ EH = FC $.

5. Xét tam giác $ \triangle AHE $ và $ \triangle AFC $:
   - $ \angle AHE = \angle AFC = 90^\circ $.
   - $ AH = AF $ (vì $ \triangle AHE $ và $ \triangle AFC $ là hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau).

6. Do đó, $ \triangle AHE $ và $ \triangle AFC $ bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c).

7. Suy ra $ AE = AC $.

8. Vì $ M $ là trung điểm của $ HC $, nên $ AM = \frac{1}{2}AC $.

9. Từ các bước trên, ta có $ EF = \frac{1}{2}AC $.

10. Vậy $ AM = EF $.

b) Chứng minh $ HN \cdot HC = HM \cdot HA $ và $ \triangle AIH $ vuông tại $ I $.

Giả thiết:
- $ N $ là giao điểm của $ ME $ và $ AH $.
- Tia phân giác $ AD $ của $ \angle HAC $ cắt $ MN $ tại $ I $.

Chứng minh:

1. Xét tam giác vuông $ \triangle AHC $ với đường cao $ AH $:
   - Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có $ AH^2 = HN \cdot HC $.

2. Xét tam giác vuông $ \triangle MHC $ với đường cao $ MH $:
   - Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có $ MH^2 = HM \cdot HA $.

3. Từ hai hệ thức trên, suy ra $ HN \cdot HC = HM \cdot HA $.

4. Xét tam giác $ \triangle AIH $:
   - $ AD $ là phân giác của $ \angle HAC $, nên $ \angle AID = \angle HID $.

5. Do đó, $ \triangle AIH $ vuông tại $ I $.

c) Chứng minh $ HK = PC $.

Giả thiết:
- Đường thẳng qua $ M $ vuông góc với $ HI $ cắt $ AH $ tại $ K $, cắt $ AC $ tại $ P $.

Chứng minh:

1. Vì $ MK \perp HI $, nên $ \angle MKH = 90^\circ $.

2. Xét tam giác vuông $ \triangle MKH $ và $ \triangle MPC $:
   - $ MK = MP $ (vì $ M $ là trung điểm của $ HC $).

3. Do đó, hai tam giác $ \triangle MKH $ và $ \triangle MPC $ bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c).

4. Suy ra $ HK = PC $.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.

haanh · Answer