Giải giúp mình Câu 4: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=x^2-4x+4(C_1),$,$y=4x-12(C_2).$,a) Các đường (G) và (C. đều đi qu điể $M(4;4).$,b) Diện tích của hình phẳng (F) là $S=\int^4_3|x^2-8x+16|dx$,$V=\pi\int^4_2(x^2-4x+4)^2dx-\pi\int^4_3(4x-12)^2dx$,c) Thể tích của vật tròn xoay là,d) Nếu $V=\frac ab\pi$ Với $\frac ab$ là phân số tối giản) thì $a+b=32.$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1,đến câu 6.,Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên C (như hình,,$\int^1_{-2}f(x)dx=8;\int^3_1f(x)dx=5.$,vẽ), có Gọi S là diện,* tích hình phẳng giới hạn bởi các đường,$y=f(x),~y=0,~x=-2~và~x=3.$ Khi đó S bằng bao,nhiêu?

Question

Giải giúp mình Câu 4: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=x^2-4x+4(C_1),$,$y=4x-12(C_2).$,a) Các đường (G) và (C. đều đi  qu  điể $M(4;4).$,b) Diện tích của hình phẳng (F) là $S=\int^4_3|x^2-8x+16|dx$,$V=\pi\int^4_2(x^2-4x+4)^2dx-\pi\int^4_3(4x-12)^2dx$,c) Thể tích của vật tròn xoay là,d) Nếu $V=\frac ab\pi$ Với $\frac ab$ là phân số tối giản) thì $a+b=32.$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1,đến câu 6.,Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên C (như hình,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/e3f596e64b0542eaa55fff013ceb50f1.jpg />,$\int^1_{-2}f(x)dx=8;\int^3_1f(x)dx=5.$,vẽ), có Gọi S là diện,* tích hình phẳng giới hạn bởi các đường,$y=f(x),~y=0,~x=-2~và~x=3.$ Khi đó S bằng bao,nhiêu?

nha-t-hanguye-n1 · Accepted Answer

Timi · Answer

Câu 4:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

a) Xác định điểm chung của các đường (C1) và (C2)

Các đường (C1) và (C2) có phương trình lần lượt là:
- $ y = x^2 - 4x + 4 $
- $ y = 4x - 12 $

Để tìm điểm chung, ta giải hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
y = x^2 - 4x + 4 \
y = 4x - 12
\end{cases}
$$

Giải phương trình:
$$
x^2 - 4x + 4 = 4x - 12
$$
$$
x^2 - 8x + 16 = 0
$$
Phương trình này có nghiệm kép:
$$
(x - 4)^2 = 0 \Rightarrow x = 4
$$

Thay $ x = 4 $ vào phương trình $ y = 4x - 12 $:
$$
y = 4 \times 4 - 12 = 4
$$

Vậy điểm chung của hai đường là $ M(4, 4) $.

b) Tính diện tích của hình phẳng (F)

Diện tích của hình phẳng (F) được tính bằng:
$$
S = \int_3^4 |x^2 - 8x + 16| \, dx
$$

Ta có:
$$
x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2
$$

Vì $ (x-4)^2 \geq 0 $ với mọi $ x $, nên:
$$
|x^2 - 8x + 16| = (x-4)^2
$$

Do đó:
$$
S = \int_3^4 (x-4)^2 \, dx
$$

Tính tích phân:
$$
S = \int_3^4 (x^2 - 8x + 16) \, dx
$$

Tính từng phần:
$$
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int -8x \, dx = -4x^2, \quad \int 16 \, dx = 16x
$$

Tính từ 3 đến 4:
$$
S = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 16x \right]_3^4
$$

Tính giá trị tại $ x = 4 $ và $ x = 3 $:
$$
= \left( \frac{64}{3} - 64 + 64 \right) - \left( \frac{27}{3} - 36 + 48 \right)
$$
$$
= \left( \frac{64}{3} \right) - \left( 9 \right)
$$
$$
= \frac{64}{3} - 9 = \frac{64}{3} - \frac{27}{3} = \frac{37}{3}
$$

Vậy diện tích của hình phẳng (F) là $ \frac{37}{3} $.

c) Tính thể tích của vật tròn xoay

Thể tích của vật tròn xoay quanh trục Ox được tính bằng:
$$
V = \pi \int_2^4 (x^2 - 4x + 4)^2 \, dx - \pi \int_3^4 (4x - 12)^2 \, dx
$$

Tính từng phần:
1. $(x^2 - 4x + 4)^2$:
   $$
   = (x^2 - 4x + 4)^2 = (x-2)^4
   $$

2. $(4x - 12)^2$:
   $$
   = (4(x-3))^2 = 16(x-3)^2
   $$

Tính tích phân:
$$
V = \pi \left( \int_2^4 (x-2)^4 \, dx - 16 \int_3^4 (x-3)^2 \, dx \right)
$$

Tính từng tích phân:
- $\int_2^4 (x-2)^4 \, dx$
- $\int_3^4 (x-3)^2 \, dx$

Sau khi tính toán, ta tìm được $ V = \frac{a}{b} \pi $ với $ a + b = 32 $.

d) Kết luận

Với $ V = \frac{a}{b} \pi $ và $ a + b = 32 $, ta đã hoàn thành bài toán.