« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $12$
một nhà hát có sức chứa tối đa $1200$ khán giả hiện tại với giá vé $250.000 đồng/$ vé , trung bình mỗi đêm có $800$ khán giả . Ban Quản lý khảo sát và thấy rằng $:$ cứ giảm $10.000$ đồng thì sẽ có thêm $40$ khán giả đến xem. Nhà hát nên ấn định giá vé là bao nhiêu để tổng danh thu mỗi đêm lớn nhất

Question

Phụng Huỳnh Công · Accepted Answer

{"userId": 5433079, "userName": "Katiee ୨୧ "}
1. Đặt ẩn và lập phương trình:
Giá vé hiện tại: P_0 = 250.000 (đồng).
Số khán giả hiện tại: N_0 = 800 (người).
Gọi x là số lần giảm giá 10.000 đồng (x \ge 0).
Khi đó:
Giá vé mới là: P = 250.000 - 10.000x (đồng).
Số khán giả mới là: N = 800 + 40x (người).
2. Điều kiện của bài toán:
Số lượng khán giả không được vượt quá sức chứa tối đa của nhà hát:
N \le 1200
\Leftrightarrow 800 + 40x \le 1200
\Leftrightarrow 40x \le 400
\Leftrightarrow x \le 10
Vì giá vé không thể âm nên:
250.000 - 10.000x \ge 0 \Rightarrow x \le 25
Vậy điều kiện của x là: 0 \le x \le 10.
3. Thiết lập hàm doanh thu:
Doanh thu (R) được tính bằng tích của giá vé và số lượng khán giả:
R(x) = P \cdot N = (250.000 - 10.000x)(800 + 40x)
Khai triển biểu thức:
R(x) = 200.000.000 + 10.000.000x - 8.000.000x - 400.000x^2
R(x) = -400.000x^2 + 2.000.000x + 200.000.000
4. Tìm giá trị lớn nhất:
Đây là hàm số bậc hai có dạng ax^2 + bx + c với a = -400.000 < 0, nên hàm số đạt giá trị cực đại tại đỉnh:
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2.000.000}{2 \cdot (-400.000)} = \frac{2.000.000}{800.000} = 2,5
Giá trị x = 2,5 thỏa mãn điều kiện 0 \le x \le 10.
5. Kết luận:
Với x = 2,5, giá vé tối ưu để tổng doanh thu mỗi đêm lớn nhất là:
P = 250.000 - 10.000 \cdot (2,5) = 250.000 - 25.000 = 225.000 (đồng).
Vậy nhà hát nên ấn định giá vé là 225.000 đồng để đạt doanh thu lớn nhất.

Timi · Answer

Để tìm giá vé tối ưu để tối đa hóa doanh thu của nhà hát, ta sẽ đặt biến cho giá vé và sau đó tính doanh thu.

1. **Đặt biến**: 
   - Giả sử giá vé hiện tại là $ P_0 = 250.000 $ đồng.
   - Số khán giả hiện tại là $ N_0 = 800 $ người.
   - Gọi $ x $ là số lần giảm giá vé 10.000 đồng. Khi đó, giá vé mới sẽ là:
     $$
     P = P_0 - 10.000x = 250.000 - 10.000x
     $$
   - Số khán giả mới sẽ là:
     $$
     N = N_0 + 40x = 800 + 40x
     $$

2. **Tính doanh thu**:
   - Doanh thu $ R $ được tính bằng:
     $$
     R = P \times N = (250.000 - 10.000x)(800 + 40x)
     $$
   - Mở rộng biểu thức doanh thu:
     $$
     R = (250.000 \times 800) + (250.000 \times 40x) - (10.000 \times 800x) - (10.000 \times 40x^2)
     $$
     $$
     R = 200.000.000 + 10.000.000x - 8.000.000x - 400.000x^2
     $$
     $$
     R = 200.000.000 + 2.000.000x - 400.000x^2
     $$

3. **Tìm giá trị tối đa**:
   - Đây là một hàm bậc 2 có dạng $ R = -400.000x^2 + 2.000.000x + 200.000.000 $, có hệ số bậc 2 âm, do đó hàm này có cực đại.
   - Để tìm giá trị $ x $ tại cực đại, ta dùng công thức:
     $$
     x = -\frac{b}{2a}
     $$
     với $ a = -400.000 $ và $ b = 2.000.000 $:
     $$
     x = -\frac{2.000.000}{2 \times -400.000} = \frac{2.000.000}{800.000} = 2.5
     $$
   - Vì $ x $ phải là số nguyên, ta sẽ kiểm tra $ x = 2 $ và $ x = 3 $.

4. **Tính doanh thu cho $ x = 2 $ và $ x = 3 $**:
   - Với $ x = 2 $:
     $$
     P = 250.000 - 10.000 \times 2 = 230.000 \text{ đồng}
     $$
     $$
     N = 800 + 40 \times 2 = 880 \text{ người}
     $$
     $$
     R = 230.000 \times 880 = 202.400.000 \text{ đồng}
     $$
   
   - Với $ x = 3 $:
     $$
     P = 250.000 - 10.000 \times 3 = 220.000 \text{ đồng}
     $$
     $$
     N = 800 + 40 \times 3 = 920 \text{ người}
     $$
     $$
     R = 220.000 \times 920 = 202.400.000 \text{ đồng}
     $$

5. **Kết luận**:
   - Doanh thu là giống nhau khi giảm giá vé đến $ 230.000 $ đồng và $ 220.000 $ đồng, tuy nhiên ta có thể chọn mức giá là $ 230.000 $ đồng để không vượt quá khả năng phục vụ của nhà hát.
   - Do đó, giá vé tối ưu để tổng doanh thu mỗi đêm lớn nhất là:
     $$
     \boxed{230.000} \text{ đồng}
     $$

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $12$ một nhà hát có sức chứa tối đa $1200$ khán giả hiện tại với giá vé $250.000 đồng/$ vé , trung bình mỗi đêm có $800$ khán giả . Ban Quản lý khảo sát và thấy rằng $:$ cứ giả...