Giúo em với ạ CCCc ví dụ miih họa,Câu 6: Chứng minh rằng hàm số $g(x)=\frac x{x-1}$ nghịch biến trên khoảng $(1;+\infty).$

Question

Huycindy · Accepted Answer

Hàm số $g(x) = \dfrac{x}{x-1}$
Xét hàm số trên khoảng $(1; +\infty)$.
Ta có đạo hàm của hàm số:
$g&#x27;(x) = \dfrac{(x)&#x27; \cdot (x-1) - x \cdot (x-1)&#x27;}{(x-1)^2}$
$g&#x27;(x) = \dfrac{1 \cdot (x-1) - x \cdot 1}{(x-1)^2}$
$g&#x27;(x) = \dfrac{x - 1 - x}{(x-1)^2}$
$g&#x27;(x) = \dfrac{-1}{(x-1)^2}$
Vì $-1 < 0$ và $(x-1)^2 > 0$ với $\forall x \in (1; +\infty)$
Nên $g&#x27;(x) < 0$ với $\forall x \in (1; +\infty)$
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; +\infty)$.

Timi · Answer

Để chứng minh rằng hàm số $ g(x) = \frac{x}{x-1} $ nghịch biến trên khoảng $ (1; +\infty) $, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số này và kiểm tra dấu của đạo hàm trên khoảng đã cho.

1. **Tính đạo hàm $ g&#x27;(x) $**:
   Sử dụng quy tắc đạo hàm cho thương, ta có:
   $$
   g&#x27;(x) = \frac{(x-1) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}
   $$

2. **Phân tích dấu của $ g&#x27;(x) $**:
   - $ (x-1)^2 $ luôn dương với mọi $ x \neq 1 $.
   - Do đó, $ g&#x27;(x) = \frac{-1}{(x-1)^2} < 0 $ với mọi $ x $ trong khoảng $ (1; +\infty) $.

3. **Kết luận**:
   Vì đạo hàm $ g&#x27;(x) < 0 $ trên khoảng $ (1; +\infty) $, nên hàm số $ g(x) $ là hàm nghịch biến trên khoảng này.

Vậy, chúng ta đã chứng minh rằng hàm số $ g(x) = \frac{x}{x-1} $ nghịch biến trên khoảng $ (1; +\infty) $.

Phụng Huỳnh Công · Answer

Lời giải chi tiết: Tập xác định: Hàm số g(x) = x / (x - 1) xác định khi x - 1 khác 0, tương đương với x khác 1. Tập xác định: D = R \ {1}. Tính đạo hàm: Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm phân thức, ta có: g'(x) = [1 * (x - 1) - x * 1] / (x - 1)^2 g'(x) = (x - 1 - x) / (x - 1)^2 g'(x) = -1 / (x - 1)^2 Xét dấu đạo hàm: Với mọi x thuộc khoảng (1; +vô cùng), ta có: Mẫu số (x - 1)^2 luôn dương (do x > 1 nên x - 1 > 0). Tử số là -1, là một số âm. Do đó, g'(x) = -1 / (x - 1)^2 < 0 với mọi x thuộc khoảng (1; +vô cùng). Kết luận: Vì đạo hàm g'(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (1; +vô cùng), nên hàm số g(x) = x / (x - 1) nghịch biến trên khoảng (1; +vô cùng) (điều phải chứng minh).