Giúp mình với! Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địađđiểm trong không gian. Sau mộ khoảg thờờiggan, chiếế thứứnhhấ ngằmcáác điinmxu,Đông và 3 km về phía Nam, đồng thời cách mặt đất 0,, 75 km; chiếc thứ hai nằm cách điểmxxuấtpháá 1 5 km về phía Bccvvà vhhu,thời cách ặặtđđất 0,55 km. Cùng tờờiđđiểm đó, ộột ggười đứng rrên ặặt đấ vàà hìì hấấy ai hánt khí cuầunóói rêên. iiếnggnng)vo,khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏnhhất byyh,Nhập đáp án

Question

Giúp mình với! Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địađđiểm trong không gian. Sau mộ  khoảg thờờiggan, chiếế thứứnhhấ ngằmcáác điinmxu,Đông và 3 km về phía Nam, đồng thời cách mặt đất 0,, 75 km; chiếc thứ hai nằm cách điểmxxuấtpháá 1   5 km về phía Bccvvà   vhhu,thời cách ặặtđđất 0,55 km. Cùng tờờiđđiểm đó, ộột ggười đứng rrên ặặt đấ vàà hìì  hấấy ai  hánt khí cuầunóói rêên. iiếnggnng)vo,khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏnhhất byyh,Nhập đáp án

Jull · Accepted Answer

{"userId":5231374,"userName":"ᴳᵒᵈ乡xüânĐạt❤ᴾᴿᴼシv"}

Tọa độ của hai khinh khí cầu lần lượt là:

$-$$A(2; -3; 0,75)$ (2 km Đông, 3 km Nam, cao 0,75 km)

$-$$B(-1; 1,5; 0,5)$ (1 km Tây, 1,5 km Bắc, cao 0,5 km)

Gọi $M(x; y; 0)$ là vị trí người đứng trên mặt đất (mặt phẳng $Oxy$).

Để tổng khoảng cách $(MA + MB)$ nhỏ nhất, ta lấy điểm $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua mặt phẳng mặt đất: $A'(2; -3; -0,75)$

Khi đó, tổng khoảng cách nhỏ nhất chính bằng độ dài đoạn thẳng $A'B$:

$d_{min}=A^{\prime }B=\sqrt{(-1-2)^{2}+(1,5-(-3))^{2}+(0,5-(-0,75))^{2}}$

$d_{min}=\sqrt{(-3)^{2}+4,5^{2}+1,25^{2}}$

$d_{min}=\sqrt{9+20,25+1,5625}=\sqrt{30,8125}=\frac{\sqrt{493}}{4}\approx 5,55\text{ (km)}$

Đáp số: $\approx 5,55$ km.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần xác định vị trí của hai chiếc khinh khí cầu và vị trí của người đứng trên mặt đất.

1. **Xác định vị trí khinh khí cầu:**
   - Chiếc khinh khí cầu thứ nhất (K1) bay 3 km về phía Đông và 0,75 km cách mặt đất. Vị trí của K1 sẽ được biểu diễn trong hệ tọa độ 3D:
     - K1: (3, 0, 0,75)
   - Chiếc khinh khí cầu thứ hai (K2) bay 1,5 km về phía Bắc và 0,55 km cách mặt đất. Vị trí của K2 sẽ được biểu diễn như sau:
     - K2: (0, 1,5, 0,55)

2. **Tìm tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu:**
   - Gọi vị trí người đứng trên mặt đất là (x, y, 0). Tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu sẽ được tính bằng công thức:
     $$
     D = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 0)^2 + (0 - 0,75)^2} + \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 1,5)^2 + (0 - 0,55)^2}
     $$

3. **Tối ưu hóa tổng khoảng cách D:**
   - Để tìm giá trị nhỏ nhất của D, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm điểm cực tiểu. Tuy nhiên, trong bài toán này, ta có thể suy luận rằng vị trí người đứng sẽ nằm trên đoạn nối giữa hai khinh khí cầu và gần trung điểm của đoạn nối này.

4. **Tính toán vị trí tối ưu:**
   - Tọa độ trung điểm giữa hai khinh khí cầu K1 và K2 sẽ là:
     $$
     \text{Trung điểm} = \left( \frac{3 + 0}{2}, \frac{0 + 1,5}{2}, 0 \right) = \left( 1,5, 0,75, 0 \right)
     $$

5. **Tính khoảng cách tối thiểu:**
   - Tính khoảng cách từ điểm (1,5, 0,75, 0) đến K1 và K2:
     $$
     D1 = \sqrt{(1,5 - 3)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0,75)^2} = \sqrt{(-1,5)^2 + 0 + (-0,75)^2} = \sqrt{2,25 + 0,5625} = \sqrt{2,8125} \approx 1,677
     $$
     $$
     D2 = \sqrt{(1,5 - 0)^2 + (0 - 1,5)^2 + (0 - 0,55)^2} = \sqrt{(1,5)^2 + (-1,5)^2 + (-0,55)^2} = \sqrt{2,25 + 2,25 + 0,3025} = \sqrt{4,8025} \approx 2,192
     $$

6. **Tính tổng khoảng cách:**
   - Tổng khoảng cách nhỏ nhất là:
     $$
     D = D1 + D2 \approx 1,677 + 2,192 \approx 3,869 km
     $$

**Kết luận:** Tổng khoảng cách nhỏ nhất đến hai khinh khí cầu là khoảng 3,87 km.