« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $12$
$...$ Câu 6: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số,$y=|\frac{x^2+mx+m}{x+1}|$ trên đoạn $[1;2]$ bằng 3. Tổng giá trị của của tham số m trong tập S là

Question

Huycindy · Accepted Answer

Xét hàm số $g(x) = \dfrac{x^2 + mx + m}{x + 1}$ trên đoạn $[1; 2]$
$g&#x27;(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}$
Do $g&#x27;(x) > 0$ $\forall x \in [1; 2]$ nên hàm số $g(x)$ đồng biến trên đoạn $[1; 2]$
$g(1) = \dfrac{2m + 1}{2}$
$g(2) = \dfrac{3m + 4}{3}$
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \vert{}g(x)\vert{}$ trên đoạn $[1; 2]$ là $\max \left( \vert{}g(1)\vert{}, \vert{}g(2)\vert{} ight)$
Trường hợp 1:
$\begin{cases} \left\vert{} \dfrac{2m + 1}{2} ight\vert{} = 3 \ \left\vert{} \dfrac{3m + 4}{3} ight\vert{} \leq 3 \end{cases}$
Từ $\left\vert{} \dfrac{2m + 1}{2} ight\vert{} = 3$ có
$\left[ \begin{aligned} &2m + 1 = 6 \ &2m + 1 = -6 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &m = \dfrac{5}{2} \ &m = -\dfrac{7}{2} \end{aligned} ight.$
Với $m = \dfrac{5}{2}$ có $\left\vert{} \dfrac{3m + 4}{3} ight\vert{} = \dfrac{23}{6} \leq 3$ (l)
Với $m = -\dfrac{7}{2}$ có $\left\vert{} \dfrac{3m + 4}{3} ight\vert{} = \dfrac{13}{6} \leq 3$ (n)
Trường hợp 2:
$\begin{cases} \left\vert{} \dfrac{3m + 4}{3} ight\vert{} = 3 \ \left\vert{} \dfrac{2m + 1}{2} ight\vert{} \leq 3 \end{cases}$
Từ $\left\vert{} \dfrac{3m + 4}{3} ight\vert{} = 3$ có
$\left[ \begin{aligned} &3m + 4 = 9 \ &3m + 4 = -9 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &m = \dfrac{5}{3} \ &m = -\dfrac{13}{3} \end{aligned} ight.$
Với $m = \dfrac{5}{3}$ có $\left\vert{} \dfrac{2m + 1}{2} ight\vert{} = \dfrac{13}{6} \leq 3$ (n)
Với $m = -\dfrac{13}{3}$ có $\left\vert{} \dfrac{2m + 1}{2} ight\vert{} = \dfrac{23}{6} \leq 3$ (l)
$S = \left\{ -\dfrac{7}{2}; \dfrac{5}{3} ight\}$
Tổng các giá trị của tham số $m$ trong tập $S$ là
$-\dfrac{7}{2} + \dfrac{5}{3} = -\dfrac{11}{6}$

Timi · Answer

Để tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $ m $ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $ y = \left| \frac{x^2 + mx + m}{x + 1} \right| $ trên đoạn $ [1, 2] $ bằng 3, ta cần tiến hành các bước sau:

1. **Tính hàm số**:
   $$
   y = \left| \frac{x^2 + mx + m}{x + 1} \right|
   $$

2. **Xác định giá trị hàm số tại các đầu mút của đoạn**:
   - Tại $ x = 1 $:
     $$
     y(1) = \left| \frac{1^2 + m \cdot 1 + m}{1 + 1} \right| = \left| \frac{1 + 2m}{2} \right|
     $$
   - Tại $ x = 2 $:
     $$
     y(2) = \left| \frac{2^2 + m \cdot 2 + m}{2 + 1} \right| = \left| \frac{4 + 3m}{3} \right|
     $$

3. **Tìm điểm cực trị của hàm số**:
   Để tìm giá trị cực trị trong khoảng $ (1, 2) $, ta tính đạo hàm và tìm các giá trị của $ x $ sao cho đạo hàm bằng 0.

Tính đạo hàm:
   $$
   y&#x27; = \frac{(2x + m)(x + 1) - (x^2 + mx + m)}{(x + 1)^2}
   $$
   Đặt tử số bằng 0 để tìm điểm cực trị:
   $$
   (2x + m)(x + 1) - (x^2 + mx + m) = 0
   $$
   Rút gọn và tìm nghiệm.

4. **Giá trị lớn nhất trên đoạn**:
   Ta xét giá trị của hàm số tại các điểm $ x = 1, x = 2 $ và các điểm cực trị tìm được, rồi so sánh chúng để xác định giá trị lớn nhất.

5. **Điều kiện giá trị lớn nhất bằng 3**:
   Từ giá trị lớn nhất tìm được, ta lập phương trình để tìm giá trị của $ m $ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3.

6. **Giải phương trình**:
   Giải các phương trình để tìm các giá trị của $ m $.

7. **Tính tổng các giá trị của m**:
   Cuối cùng, tổng hợp các giá trị của $ m $ trong tập hợp $ S $.

Sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ có các giá trị của $ m $. Kết quả cuối cùng sẽ là tổng của các giá trị này.

Giả sử ta đã tìm ra được hai giá trị $ m_1 $ và $ m_2 $. Tổng các giá trị trong tập $ S $ sẽ là:
$$
\text{Tổng} = m_1 + m_2
$$

Vậy câu trả lời là tổng các giá trị của $ m $ trong tập $ S $.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $12$ $...$