« CÂU HỎI
Toán học · Lớp $12$
$...$ Câu 6: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số,$y=|\frac{x^2+mx+m}{x+1}|$ trên đoạn $[1;2]$ bằng 3. Tổng giá trị của của tham số m trong tập S là

Question

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Xét $f(x) = \frac{x^2+mx+m}{x+1}$ trên $[1;2]$.

$f'(x) = \frac{(2x+m)(x+1) - (x^2+mx+m)}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$

Vì $x \in [1;2]$ nên $f'(x) > 0$.

Hàm số đồng biến trên $[1;2]$.

$f(1) = \frac{2m+1}{2}$

$f(2) = \frac{3m+4}{3}$

Giá trị lớn nhất của $y = |f(x)|$ trên $[1;2]$ là $\max \left\{ \left| \frac{2m+1}{2} ight|; \left| \frac{3m+4}{3} ight| ight\} = 3$.

Trường hợp 1:

$\left| \frac{3m+4}{3} ight| = 3$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} \frac{3m+4}{3} = 3 \ \frac{3m+4}{3} = -3 \end{aligned} ight.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} m = \frac{5}{3} \ m = -\frac{13}{3} \end{aligned} ight.$

Với $m = \frac{5}{3} \Rightarrow \left| f(1) ight| = \frac{13}{6} < 3$ (Thỏa mãn).

Với $m = -\frac{13}{3} \Rightarrow \left| f(1) ight| = \frac{23}{6} > 3$ (Loại).

Trường hợp 2:

$\left| \frac{2m+1}{2} ight| = 3$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} \frac{2m+1}{2} = 3 \ \frac{2m+1}{2} = -3 \end{aligned} ight.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} m = \frac{5}{2} \ m = -\frac{7}{2} \end{aligned} ight.$

Với $m = \frac{5}{2} \Rightarrow \left| f(2) ight| = \frac{23}{6} > 3$ (Loại).

Với $m = -\frac{7}{2} \Rightarrow \left| f(2) ight| = \frac{13}{6} < 3$ (Thỏa mãn).

Vậy $S = \left\{ \frac{5}{3}; -\frac{7}{2} ight\}$.

Tổng các giá trị của tham số $m$ trong tập $S$ là:

$= \frac{5}{3} + \left( -\frac{7}{2} ight) = -\frac{11}{6}$

Timi · Answer

Để giải bài toán, chúng ta cần tìm các giá trị của tham số $ m $ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

$$
y = \left| \frac{x^2 + mx + m}{x + 1} \right|
$$

trên đoạn $ [1; 2] $ bằng 3.

Bước 1: Tính hàm số tại các điểm trong đoạn $ [1; 2] $.

Tại $ x = 1 $:

$$
y(1) = \left| \frac{1^2 + m \cdot 1 + m}{1 + 1} \right| = \left| \frac{1 + 2m}{2} \right| = \frac{|1 + 2m|}{2}
$$

Tại $ x = 2 $:

$$
y(2) = \left| \frac{2^2 + m \cdot 2 + m}{2 + 1} \right| = \left| \frac{4 + 3m}{3} \right| = \frac{|4 + 3m|}{3}
$$

Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số $ y $ để tìm giá trị lớn nhất trên đoạn $ [1; 2] $.

Hàm $ y $ có thể thay đổi theo $ m $, vì vậy chúng ta cần xét trường hợp:

- Khi $ x $ có giá trị nhỏ nhất (1) và lớn nhất (2).
- Khi đạo hàm của hàm $ y $ bằng 0 (nếu có) trong khoảng $ [1; 2] $.

Chúng ta cần tìm $ m $ sao cho:

$$
\max \left( \frac{|1 + 2m|}{2}, \frac{|4 + 3m|}{3} \right) = 3
$$

Bước 3: Giải hai bất phương trình để tìm giá trị của $ m $.

- Từ $ \frac{|1 + 2m|}{2} = 3 $, ta có:
  
$$
|1 + 2m| = 6 \implies 1 + 2m = 6 \quad \text{hoặc} \quad 1 + 2m = -6
$$

Giải:

1. $ 2m = 5 \implies m = \frac{5}{2} $
2. $ 2m = -7 \implies m = -\frac{7}{2} $

- Từ $ \frac{|4 + 3m|}{3} = 3 $, ta có:

$$
|4 + 3m| = 9 \implies 4 + 3m = 9 \quad \text{hoặc} \quad 4 + 3m = -9
$$

Giải:

1. $ 3m = 5 \implies m = \frac{5}{3} $
2. $ 3m = -13 \implies m = -\frac{13}{3} $

Bước 4: Tập hợp tất cả các giá trị của $ m $.

Các giá trị $ m $ mà chúng ta tìm được là:

- $ m = \frac{5}{2} $
- $ m = -\frac{7}{2} $
- $ m = \frac{5}{3} $
- $ m = -\frac{13}{3} $

Bước 5: Tính tổng các giá trị này.

$$
\text{Tổng} = \frac{5}{2} + \left(-\frac{7}{2}\right) + \frac{5}{3} + \left(-\frac{13}{3}\right)
$$

$$
= \frac{5 - 7}{2} + \frac{5 - 13}{3} = -1 + \left(-\frac{8}{3}\right) = -1 - \frac{8}{3} = -\frac{3}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{11}{3}
$$

Vậy tổng giá trị của tham số $ m $ trong tập $ S $ là

$$
\boxed{-\frac{11}{3}}.
$$

« CÂU HỎI Toán học · Lớp $12$ $...$