Hỹa và có những

**Bài 2:** a. Để chứng tỏ rằng hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau, chúng ta cần giải hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = -x + 2 \end{cases} \] Thay phương trình \(y = -x + 2\) vào phương trình \(y = 2x - 1\): \[ -x + 2 = 2x - 1 \] Giải phương trình này: \[ 2 + 1 = 2x + x \\ 3 = 3x \\ x = 1 \] Thay giá trị \(x = 1\) vào một trong hai phương trình để tìm \(y\): \[ y = 2(1) - 1 = 1 \] Vậy tọa độ giao điểm \(I\) của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là \(I(1, 1)\). Để vẽ hai đường thẳng này trên hệ trục tọa độ, ta có thể vẽ các điểm theo phương trình của chúng: - Đường thẳng \(d_1: y = 2x - 1\) có các điểm như: \( (0, -1) \), \( (1, 1) \), \( (2, 3) \). - Đường thẳng \(d_2: y = -x + 2\) có các điểm như: \( (0, 2) \), \( (2, 0) \), \( (1, 1) \). Vẽ các điểm này trên hệ trục tọa độ và nối chúng lại với nhau. b. Đường thẳng \(d\) đi qua \(I(1, 1)\) và có hệ số góc bằng -4. Phương trình của đường thẳng có dạng: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] Trong đó \(m\) là hệ số góc và \((x_0, y_0)\) là tọa độ điểm I. Thay vào ta có: \[ y - 1 = -4(x - 1) \] Giải phương trình trên: \[ y - 1 = -4x + 4 \\ y = -4x + 5 \] Vậy phương trình của đường thẳng \(d\) là: \[ y = -4x + 5 \] c. Đường thẳng \(d'\) đi qua \(I(1, 1)\) và song song với đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x + 9\). Đường thẳng song song sẽ có cùng hệ số góc. Hệ số góc của đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x + 9\) là \(\frac{1}{2}\). Vậy phương trình của đường thẳng \(d'\) có dạng: \[ y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1) \] Giải phương trình trên: \[ y - 1 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \\ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \] Vậy phương trình của đường thẳng \(d'\) là: \[ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \] --- **Bài 3:** a. Để chứng minh rằng \(MN \| DE\), ta cần chỉ ra rằng \(MN\) và \(DE\) có cùng hệ số góc. Vì \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AC\) và \(AB\), nên: - Tọa độ \(M\) là \(\left( \frac{A_x + C_x}{2}, \frac{A_y + C_y}{2} \right)\). - Tọa độ \(N\) là \(\left( \frac{A_x + B_x}{2}, \frac{A_y + B_y}{2} \right)\). Tương tự, \(D\) và \(E\) là trung điểm của \(GB\) và \(GC\): - Tọa độ \(D\) là \(\left( \frac{G_x + B_x}{2}, \frac{G_y + B_y}{2} \right)\). - Tọa độ \(E\) là \(\left( \frac{G_x + C_x}{2}, \frac{G_y + C_y}{2} \right)\). Vì \(G\) là giao điểm của hai trung tuyến, tức là trung điểm của \(BM\) và \(CN\), nên các vector \(MN\) và \(DE\) sẽ song song, từ đó suy ra \(MN \| DE\). b. Để chứng minh \(ND \| ME\), chúng ta cũng dùng nguyên lý tương tự. Vì \(D\) là trung điểm của \(GB\) và \(E\) là trung điểm của \(GC\), do đó các vector \(ND\) và \(ME\) có cùng độ dốc, từ đó suy ra rằng chúng song song. Vậy đã chứng minh được rằng \(MN \| DE\) và \(ND \| ME\).