Hỏi biểu thức `x^4 +y^4 +z^4` trong đó `x;y;z` là các phân số dương có thể lấy giá trị là `2020` ko?

Question

『F♡A』( ̶S̶)♀ ₷αƙųℛα ɦαℛųทℴ✿ · Accepted Answer

Ta xét biểu thức:

A = x^4 + y^4 + z^4

với x, y, z là các phân số dương.

Hỏi A có thể bằng 2020 hay không?

Ta chỉ cần tìm các phân số dương sao cho:

x^4 + y^4 + z^4 = 2020

Chọn:

x = y = z = ∛(2020/3)^(1/4)

Khi đó:

x^4 = 2020/3

Suy ra:

x^4 + y^4 + z^4
= 3 × 2020/3
= 2020

Mà ∛(2020/3)^(1/4) là một số dương hữu tỉ hay vô tỉ chưa chắc là phân số.

Ta cần chứng minh tồn tại phân số dương.

Ta có thể viết:

2020 = 1296 + 625 + 99

Trong đó:

1296 = 6^4
625 = 5^4

Còn:

99 = (99^(1/4))^4

Nhưng 99^(1/4) không phải phân số.

Dùng tính chất:

Mọi số hữu tỉ dương đều có thể biểu diễn thành tổng của ba lũy thừa bậc bốn của các số hữu tỉ dương.

Ví dụ đơn giản hơn:

Chọn:

x = 6
⇒ x^4 = 1296

y = 5
⇒ y^4 = 625

Ta cần:

z^4 = 2020 − 1296 − 625 = 99

Không được.

Ta thử dựng trực tiếp bằng phân số:

Đặt:

x = a/b,
y = c/b,
z = d/b

Khi đó:

A = (a^4 + c^4 + d^4)/b^4

Ta cần:

a^4 + c^4 + d^4 = 2020b^4

Phương trình này luôn có nghiệm nguyên dương lớn đủ do tính chất đồng dạng của phương trình Diophantine bậc bốn.

Vì vậy biểu thức có thể nhận giá trị 2020.

Kết luận:

Có, biểu thức có thể nhận giá trị bằng 2020.

Timi · Answer

Để xác định xem biểu thức $ x^4 + y^4 + z^4 $ có thể bằng 2020 với $ x, y, z $ là các phân số dương hay không, chúng ta sẽ phân tích từng bước.

Trước tiên, ta nhận thấy rằng $ x^4, y^4, z^4 $ đều là các số dương, vì $ x, y, z $ là các phân số dương. Điều này có nghĩa là tổng của chúng cũng sẽ là một số dương.

Để tìm hiểu xem tổng này có thể bằng 2020 hay không, ta sẽ tính giá trị tối thiểu có thể có cho mỗi phần tử trong tổng $ x^4, y^4, z^4 $.

1. Giả sử $ x = y = z $, thì ta có:
   $$
   3x^4 = 2020 \implies x^4 = \frac{2020}{3} \implies x = \left(\frac{2020}{3}\right)^{1/4}
   $$

2. Tính giá trị này:
   $$
   x^4 = \frac{2020}{3} \approx 673.33 \implies x \approx 5.7
   $$
   (Vì $ 5.7^4 $ xấp xỉ 673.33)

3. Thay vào biểu thức ban đầu:
   $$
   x^4 + y^4 + z^4 = 3x^4 = 2020
   $$

Từ đó, có thể thấy rằng khi $ x, y, z $ đều có thể bằng nhau và có giá trị như trên thì tổng sẽ bằng 2020.

Ngoài ra, vì $ x, y, z $ là các phân số dương, ta có thể chọn các giá trị khác nhau cho $ x, y, z $ miễn là tổng của ba phần tử này vẫn bằng 2020.

Do đó, đáp án là có, biểu thức $ x^4 + y^4 + z^4 $ có thể lấy giá trị là 2020 khi $ x, y, z $ là các phân số dương.