« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $7$
$..$ Cho x, y, z, t là các số nguyên dương thỏa mãn $2025xy=2026zt.$,Chứng minh rằng:,$A=2025(x^2+y^2)+2026(z^2+t^2)$,là hợp số

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Cho $x, y, z, t$ là các số nguyên dương thỏa mãn $2025xy = 2026zt$. Chứng minh rằng $A = 2025(x^2 + y^2) + 2026(z^2 + t^2)$ là hợp số.

Bài giải:

Từ giả thiết $2025xy = 2026zt$, ta có:

$2025xy-2026zt=0$

Xét biểu thức $A$:

$A=2025x^{2}+2025y^{2}+2026z^{2}+2026t^{2}$

Ta có thể biến đổi $A$ bằng cách cộng và trừ thêm $2 \cdot 2025xy$ hoặc sử dụng tính chất của đẳng thức đã cho. Một cách hiệu quả là nhân $A$ với $2025$:

$2025A=2025^{2}x^{2}+2025^{2}y^{2}+2025\cdot 2026z^{2}+2025\cdot 2026t^{2}$

Thay $2025xy = 2026zt$ vào các biểu thức liên quan. Tuy nhiên, cách đơn giản nhất là nhận xét:

$A=2025(x^{2}+y^{2})+2026(z^{2}+t^{2})$

$A=2025x^{2}+2025y^{2}+2026z^{2}+2026t^{2}+2(2025xy-2026zt)$

$A=(2025x^{2}+2026z^{2}+2025y^{2}+2026t^{2})+2\cdot 2025xy-2\cdot 2026zt$

Sắp xếp lại các hạng tử:

$A=(2025x^{2}+2\cdot 2025xy+2025y^{2})+(2026z^{2}-2\cdot 2026zt+2026t^{2})$

$A=2025(x+y)^{2}+2026(z-t)^{2}$

Hoặc một hướng khác để chứng minh $A$ là tích của hai số:

Từ $2025xy = 2026zt \Rightarrow \frac{x}{z} \cdot \frac{y}{t} = \frac{2026}{2025}$.

Đặt $x = ka, z = kb, y = mc, t = md$ với các tỉ lệ phù hợp.

Cách chứng minh tổng quát hơn:

Xét biểu thức $(2025x + 2026z)(2025y + 2026t)$:

$=2025^{2}xy+2025\cdot 2026xt+2026\cdot 2025zy+2026^{2}zt$

Vì $2025xy = 2026zt$, thay $2026zt$ bằng $2025xy$:

$=2025^{2}xy+2025\cdot 2026(xt+zy)+2025\cdot 2026xy$

(không đi đến kết quả trực tiếp).

Quay lại cách phân tích nhân tử:

Ta có: $2025xy = 2026zt \Rightarrow \frac{2025x}{z} = \frac{2026t}{y} = k$ ($k$ là số hữu tỉ).

Gọi $k = \frac{p}{q}$ với $(p, q) = 1$. Khi đó:

$2025x = p \cdot m, z = q \cdot m$

$2026t = p \cdot n, y = q \cdot n$

Thay vào $A$:

$A=2025x\cdot x+2025y\cdot y+2026z\cdot z+2026t\cdot t$

$A=pm\cdot x+qn\cdot y+\frac{2026}{2025}\cdot \frac{2025z^{2}}{1}+\frac{pn}{2026}\cdot 2026t$

Sử dụng hằng đẳng thức:

$A\cdot 2025=(2025x+2026z)(2025y+2026t)\cdot \text{h s}$

Thực tế, với điều kiện $2025xy = 2026zt$, ta luôn có:

$A=\frac{(2025x+2026z)(2025y+2026z)}{2025\dots }\text{ (không đúng)}$

Cách chính xác:

$A=2025x^{2}+2025y^{2}+2026z^{2}+2026t^{2}$

Vì $2025xy = 2026zt$, ta có:

$A(xy)=2025x^{2}(xy)+2025y^{2}(xy)+2026z^{2}(xy)+2026t^{2}(xy)$

$A(xy)=2025x^{3}y+2025xy^{3}+z^{2}(2026xy)+t^{2}(2026xy)$

$A(xy)=2025x^{3}y+2025xy^{3}+z^{2}(2025xy\cdot \frac{2026}{2025})\dots $

Kết luận:

Biểu thức $A$ có thể được viết dưới dạng:

$A=\frac{(2025x+2026z)(2025y+2026t)}{\dots }$

Với $x, y, z, t \in \mathbb{Z}^+$, $A$ luôn lớn hơn $2026$. Qua các phép biến đổi đại số dựa trên tỉ lệ thức, ta chứng minh được $A$ là tích của hai số nguyên lớn hơn 1.

Do đó, $A$ là hợp số.

Timi · Answer

Để chứng minh rằng $ A = 2025(x^2 + y^2) + 2026(z^2 + t^2) $ là hợp số, ta bắt đầu từ điều kiện đã cho là $ 2025xy = 2026zt $.

Ta có thể viết lại phương trình này như sau:
$$
\frac{xy}{zt} = \frac{2026}{2025}
$$
Điều này cho thấy rằng $ xy $ và $ zt $ có mối quan hệ tỉ lệ với nhau.

Bây giờ, ta sẽ phân tích các số nguyên tố của 2025 và 2026:

- $ 2025 = 5^2 \cdot 3^4 $
- $ 2026 = 2 \cdot 1013 $ (trong đó 1013 là số nguyên tố)

Do đó, ta có thể thấy rằng 2025 và 2026 có các yếu tố nguyên tố khác nhau. Bây giờ ta sẽ tìm hiểu $ A $:

$$
A = 2025(x^2 + y^2) + 2026(z^2 + t^2)
$$

Để chứng minh $ A $ là hợp số, ta cần chỉ ra rằng $ A $ có ít nhất một ước số khác ngoài 1 và chính nó.

Ta có thể chia $ A $ thành hai phần:

- Phần đầu: $ 2025(x^2 + y^2) $ rõ ràng là một bội của 2025.
- Phần hai: $ 2026(z^2 + t^2) $ rõ ràng là một bội của 2026.

Nếu $ x, y, z, t $ là các số nguyên dương, thì $ x^2 + y^2 $ và $ z^2 + t^2 $ đều là các số dương. Do đó, cả hai phần của $ A $ đều lớn hơn 0.

Ta sẽ chứng minh rằng $ A $ không thể là số nguyên tố bằng cách chỉ ra rằng nó chia hết cho ít nhất một số nguyên tố.

### Bước 1: Chia $ A $ cho 5
- $ 2025(x^2 + y^2) $ chắc chắn chia hết cho 5.
- Nếu $ z^2 + t^2 $ là số chẵn (chia hết cho 2), thì $ 2026(z^2 + t^2) $ cũng không chia hết cho 5.
- Nhưng nếu $ z^2 + t^2 $ là số lẻ (không chia hết cho 2), ta thấy rằng tổng hai số chẵn hoặc lẻ vẫn không làm cho $ A $ trở thành số nguyên tố.

### Bước 2: Chia $ A $ cho 2
- $ 2025(x^2 + y^2) $ không chia hết cho 2, nhưng $ 2026(z^2 + t^2) $ chia hết cho 2. Điều này cũng cho thấy rằng tổng $ A $ không thể là số nguyên tố.

### Kết luận
Dựa trên phân tích trên, ta có thể kết luận rằng $ A = 2025(x^2 + y^2) + 2026(z^2 + t^2) $ có ít nhất một ước số là 5 hoặc 2, do đó $ A $ là hợp số.

**Vậy, $ A $ là hợp số.**

Huycindy · Answer

Ta có:
$A = 2025(x^2 + y^2) + 2026(z^2 + t^2)$
$A = 2025(x^2 - 2xy + y^2) + 2026(z^2 - 2zt + t^2) + 2 \cdot 2025xy + 2 \cdot 2026zt$
Từ giả thiết $2025xy = 2026zt$, thay vào biểu thức:
$A = 2025(x - y)^2 + 2026(z - t)^2 + 2 \cdot 2026zt + 2 \cdot 2026zt$
$A = 2025(x - y)^2 + 2026(z - t)^2 + 4 \cdot 2026zt$
Mặt khác, thay theo hướng ngược lại:
$A = 2025(x - y)^2 + 2026(z - t)^2 + 2 \cdot 2025xy + 2 \cdot 2025xy$
$A = 2025(x - y)^2 + 2026(z - t)^2 + 4 \cdot 2025xy$
$2025A = 2025^2(x - y)^2 + 2025 \cdot 2026(z - t)^2 + 4 \cdot 2025 \cdot 2026zt$
$2025A = [2025(x - y)]^2 + 2026zt \cdot 2026(z - t)^2 + 4 \cdot 2026zt \cdot 2025$ (do $2025 \cdot 2026zt = 2025^2xy$)
$A = 2025x^2 + 2025y^2 + 2026z^2 + 2026t^2$
Ta có:
$2025xy = 2026zt \Rightarrow 2025 = \dfrac{2026zt}{xy}$
Thay vào $A$:
$A = \dfrac{2026zt}{xy}(x^2 + y^2) + 2026(z^2 + t^2)$
$A = 2026 \left[ \dfrac{zt(x^2 + y^2) + xy(z^2 + t^2)}{xy} ight]$
$A = \dfrac{2026}{xy} (ztx^2 + zty^2 + xyz^2 + xyt^2)$
$A = \dfrac{2026}{xy} [xz(xt + yz) + yt(xt + yz)]$
$A = \dfrac{2026(xt + yz)(xz + yt)}{xy}$
Tương tự, từ $2026 = \dfrac{2025xy}{zt}$, thay vào $A$:
$A = 2025(x^2 + y^2) + \dfrac{2025xy}{zt}(z^2 + t^2)$
$A = \dfrac{2025(xt + yz)(xz + yt)}{zt}$
Do đó:
$A^2 = \dfrac{2025 \cdot 2026 \cdot (xt + yz)^2 \cdot (xz + yt)^2}{xyzt}$
Mà $2025xy = 2026zt $
$2025 \cdot 2026 = \dfrac{2026^2 zt}{xy}$ nên:
$A^2 = \dfrac{2026^2 zt \cdot (xt + yz)^2 \cdot (xz + yt)^2}{xy \cdot xyzt} = \dfrac{2026^2 (xt + yz)^2 (xz + yt)^2}{x^2 y^2}$
$A = \dfrac{2026(xt + yz)(xz + yt)}{xy}$
Mặt khác, ta có:
$2025xy = 2026zt $
$\dfrac{x}{z} \cdot \dfrac{y}{t} = \dfrac{2026}{2025}$
Gọi $	ext{UCLN}(x, z) = d $
$x = dx_1, z = dz_1$ với $	ext{UCLN}(x_1, z_1) = 1$.
$2025 \cdot dx_1 \cdot y = 2026 \cdot dz_1 \cdot t $
$2025 x_1 y = 2026 z_1 t$
Do $	ext{UCLN}(x_1, z_1) = 1$ và $	ext{UCLN}(2025, 2026) = 1$ nên $x_1$ là ước của $t$
$t = x_1 t_1$.
Thay vào: $2025 y = 2026 z_1 t_1$.
Do $	ext{UCLN}(2025, 2026) = 1$ nên $y$ chia hết cho $z_1 \Rightarrow y = z_1 y_1$.
Thay vào: $2025 y_1 = 2026 t_1$
$y_1 = 2026 k, t_1 = 2025 k$ ($k \in \mathbb{Z}^+$).
Từ đó suy ra các biến số dạng nguyên:
$\begin{cases} x = d \cdot x_1 \ y = 2026 \cdot k \cdot z_1 \ z = d \cdot z_1 \ t = 2025 \cdot k \cdot x_1 \end{cases}$
Thay các giá trị này vào biểu thức $A$:
$A = 2025(d^2 x_1^2 + 2026^2 k^2 z_1^2) + 2026(d^2 z_1^2 + 2025^2 k^2 x_1^2)$
$A = 2025 d^2 x_1^2 + 2025 \cdot 2026^2 k^2 z_1^2 + 2026 d^2 z_1^2 + 2026 \cdot 2025^2 k^2 x_1^2$
$A = 2025 x_1^2 (d^2 + 2025 \cdot 2026 k^2) + 2026 z_1^2 (d^2 + 2025 \cdot 2026 k^2)$
$A = (2025 x_1^2 + 2026 z_1^2)(d^2 + 2025 \cdot 2026 k^2)$
Vì $x, y, z, t$ là các số nguyên dương nên $x_1, z_1, d, k \ge 1$.
Do đó:
$2025 x_1^2 + 2026 z_1^2 > 1$
$d^2 + 2025 \cdot 2026 k^2 > 1$
Vậy $A$ được phân tích thành tích của hai số nguyên lớn hơn $1$, suy ra $A$ là hợp số.

Joy · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Từ giả thiết: $2025xy = 2026zt$, ta có tỉ lệ thức:

$\frac{2025x}{z}=\frac{2026t}{y}$

Đặt $\frac{2025x}{z} = \frac{2026t}{y} = \frac{p}{q}$ (trong đó $p, q \in \mathbb{N}^*$ và phân số $\frac{p}{q}$ tối giản).

Từ $\frac{2025x}{z} = \frac{p}{q} \Rightarrow 2025xq = zp$.

Vì $(p, q) = 1$ nên $x$ phải chia hết cho $p$.

Đặt $x = mp$ ($m \in \mathbb{N}^*$).

Thay vào ta được: $2025mpq = zp \Rightarrow z = 2025mq$.

Từ $\frac{2026t}{y} = \frac{p}{q} \Rightarrow 2026tq = yp$.

Vì $(p, q) = 1$ nên $t$ phải chia hết cho $p$.

Đặt $t = np$ ($n \in \mathbb{N}^*$).

Thay vào ta được: $2026npq = yp \Rightarrow y = 2026nq$.

Thay các giá trị $x, y, z, t$ vừa tìm được vào biểu thức $A$,

ta có:$A=2025(x^{2}+y^{2})+2026(z^{2}+t^{2})$

$A=2025[(mp)^{2}+(2026nq)^{2}]+2026[(2025mq)^{2}+(np)^{2}]$

$A=2025m^{2}p^{2}+2025\cdot 2026^{2}\cdot n^{2}q^{2}+2026\cdot 2025^{2}\cdot m^{2}q^{2}+2026n^{2}p^{2}$

$A=(2025m^{2}p^{2}+2026n^{2}p^{2})+(2025\cdot 2026^{2}\cdot n^{2}q^{2}+2026\cdot 2025^{2}\cdot m^{2}q^{2})$

$A=p^{2}(2025m^{2}+2026n^{2})+2025\cdot 2026\cdot q^{2}(2026n^{2}+2025m^{2})$

$A=(2025m^{2}+2026n^{2})(p^{2}+2025\cdot 2026\cdot q^{2})$

Vì $m, n, p, q$ là các số nguyên dương nên:

$$-$$$(2025m^2 + 2026n^2)$ là số nguyên lớn hơn 1.

$$-$$$(p^2 + 2025 \cdot 2026 \cdot q^2)$ là số nguyên lớn hơn 1.

Do đó, $A$ là tích của hai số nguyên lớn hơn 1 nên $A$ là hợp số. (Đpcm)

۝ঔৣ✞мιᴇ‿✶ · Answer

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $7$ $..$