Cầu Nhật Tân bắc qua sông Hồng được xem là dây cầu văng dài nhất
Việt nam năm 2022. Cầu có 5 trụ tháp chính nối các nhịp dây văng
nâng đỡ toàn bộ phần chính của cây cầu, cũng là để tượng trưng cho 5
cửa ô cổ kính của Hà Nội. Mỗi trụ tháp được kiến trúc tạo dáng mỹ
thuật phía trong bằng đường cong tựa như một parabol.
Giả sử rằng mặt trong của trụ cầu là một parabol (như hình vẽ). Biết
độ rộng của mặt đường khoảng 43m. Một người đã dùng dây dọi
(không giãn) gắn lên thành trụ cầu ở vị trí B và điều chỉnh độ dài dây
dọi để quả nặng vừa chạm đất (khi lặng gió), sau đó đo được chiều dài
đoạn dây dọi sử dụng là 1,87m và khoảng cách từ chân trụ cầu đến quả
nặng là 20cm . Ước tính độ cao của đỉnh vòm phía trong một trụ của
cầu Nhật Tân tới mặt đường? ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5045045,"userName":"Lê Minh Dũng"}

Chọn điểm gốc tọa độ $O(0;0)$ là chân trụ cầu bên trái trên mặt đường.

Trục hoành $Ox$ trùng với đường thẳng mặt đường, hướng từ trái sang phải.

Trục tung $Oy$ vuông góc với mặt đường tại chân trụ cầu bên trái, hướng lên trên.

Do độ rộng của mặt đường giữa hai chân trụ cầu khoảng $43$ m nên chân trụ cầu bên phải nằm ở điểm có tọa độ $(43;0)$.

Vì mặt trong của trụ cầu là một đường cong parabol và hai chân trụ đều nằm trên mặt đường ($Ox$) nên parabol này đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ và điểm $(43;0)$.

Phương trình của parabol có dạng: $y = ax(x - 43) = ax^2 - 43ax$ (với $a < 0$)

Theo đề bài, một quả nặng của dây dọi treo tại vị trí B trên thành trụ cầu vừa chạm đất.

Chiều dài đoạn dây dọi sử dụng chính là khoảng cách từ điểm B đến mặt đường (tung độ của điểm B): $y_B = 1,87$ m.

Khoảng cách từ chân trụ cầu (gốc $O$) đến quả nặng là $20$ cm $= 0,2$ m. Do đó, hoành độ của điểm B là: $x_B = 0,2$ m.

Thay tọa độ điểm $B(0,2; 1,87)$ vào phương trình parabol, ta được:

$1,87 = a \cdot 0,2 \cdot (0,2 - 43)$

$\Leftrightarrow 1,87 = a \cdot 0,2 \cdot (-42,8)$

$\Leftrightarrow 1,87 = -8,56a$

$\Leftrightarrow a = \dfrac{1,87}{-8,56} = -\dfrac{187}{856}$

Do đó, phương trình parabol mô tả mặt trong của trụ cầu là: $y = -\dfrac{187}{856}x(x - 43)$

Đỉnh vòm của trụ cầu đạt độ cao lớn nhất tại vị trí hoành độ là trung điểm của hai chân trụ cầu:

$x_0 = \dfrac{0 + 43}{2} = 21,5$ m

Độ cao lớn nhất của đỉnh vòm phía trong trụ cầu tương ứng với tung độ của đỉnh parabol:

$y_0 = -\dfrac{187}{856} \cdot 21,5 \cdot (21,5 - 43)$

$= -\dfrac{187}{856} \cdot 21,5 \cdot (-21,5)$

$= \dfrac{187 \cdot 462,25}{856} = \dfrac{86440,75}{856} \approx 100,98$ m

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta được độ cao khoảng $101$ m.

Vậy độ cao của đỉnh vòm phía trong một trụ của cầu Nhật Tân tới mặt đường ước tính khoảng 101 m.

Timi · Answer

Để tính độ cao của đỉnh vòm phía trong một trụ của cầu Nhật Tân tới mặt đường, ta có thể sử dụng hình học và một số tính toán đơn giản.

1. Đầu tiên, ta xác định các thông số đã cho:
   - Độ dài dây dọi là $ d = 1,87 $ m.
   - Khoảng cách từ chân trụ cầu đến quả nặng là $ x = 0,2 $ m (20 cm).

2. Xét tam giác vuông được tạo thành giữa đỉnh trụ cầu, điểm gắn dây dọi và quả nặng:
   - Chiều cao từ mặt đường đến điểm gắn dây dọi (đỉnh vòm) là $ h $.
   - Khoảng cách từ điểm gắn dây dọi đến mặt đường là $ h - 1,87 $ m.

3. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có:
   $$
   d^2 = x^2 + (h - 1,87)^2
   $$
   Thay các giá trị vào:
   $$
   (1,87)^2 = (0,2)^2 + (h - 1,87)^2
   $$

4. Tính toán:
   $$
   3,4969 = 0,04 + (h - 1,87)^2
   $$
   $$
   (h - 1,87)^2 = 3,4969 - 0,04 = 3,4569
   $$
   $$
   h - 1,87 = \sqrt{3,4569} \approx 1,86 \text{ m}
   $$
   $$
   h \approx 1,87 + 1,86 \approx 3,73 \text{ m}
   $$

5. Cuối cùng, làm tròn đến hàng đơn vị, độ cao của đỉnh vòm phía trong một trụ của cầu Nhật Tân tới mặt đường là khoảng:
   $$
   \text{Độ cao} \approx 4 \text{ m}
   $$

**Kết luận:** Độ cao của đỉnh vòm phía trong một trụ của cầu Nhật Tân tới mặt đường là 4 m.

Anh Trí · Answer

{"userId":5045045,"userName":"Lê Minh Dũng"}

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với đỉnh của parabol (mặt trong của vòm trụ cầu), trục Oy là trục đối xứng (hướng xuống dưới), trục Ox nằm ngang trùng với đường tiếp tuyến tại đỉnh vòm.

Phương trình parabol có dạng:

$y = ax^2$ (với $a > 0$)

Khi quả nặng chạm đất, khoảng cách từ quả nặng đến chân trụ cầu là $20 ext{ cm} = 0,2 ext{ m}$.

Do độ rộng mặt đường là $43 ext{ m}$ nên khoảng cách từ trục đối xứng Oy đến chân trụ cầu là:

$\frac{43}{2} = 21,5 ext{ m}$

Hoành độ x của vị trí quả nặng (vị trí dây dọi) là:

$21,5 - 0,2 = 21,3 ext{ m}$

Tọa độ của điểm treo dây dọi trên vòm cầu ứng với hoành độ này là $(21,3; 1,87)$.

Thay tọa độ này vào phương trình parabol:

$1,87 = a \cdot 21,3^2$

$= a \cdot 453,69$

$a = \frac{1,87}{453,69}$

Độ cao của đỉnh vòm phía trong so với mặt đường chính là tung độ của chân trụ cầu ứng với hoành độ $x = 21,5 ext{ m}$:

$y = \frac{1,87}{453,69} \cdot 21,5^2$

$= \frac{1,87}{453,69} \cdot 462,25$

$\approx 1,905 ext{ m}$

Đổi: $1,905 ext{ m} = 190,5 ext{ cm}$

$\approx191 ext{ cm}$

Cầu Nhật Tân bắc qua sông Hồng được xem là dây cầu văng dài nhất Việt nam năm 2022. Cầu có 5 trụ tháp chính nối các nhịp dây văng nâng đỡ toàn bộ phần chính của cây cầu, cũng là để tượng trưng cho 5 cử...