« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $10$
Xét tính bị chặn của dãy số sau. $h)~u_n=\sqrt{n+2}-\sqrt n,\forall n\in\mathbb{N}^*$

Question

« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $10$
Xét tính bị chặn của dãy số sau.  $h)~u_n=\sqrt{n+2}-\sqrt n,\forall n\in\mathbb{N}^*$

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Ta có: Xét dãy số $u_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp, ta được:

$u_n = \dfrac{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$

$= \dfrac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$

$= \dfrac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$

Vì $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow n \ge 1$

$\Rightarrow \sqrt{n+2} + \sqrt{n} > 0 \Rightarrow \dfrac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} > 0 \Rightarrow u_n > 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Do đó, dãy số $u_n$ bị chặn dưới bởi $0$.

Mặt khác, với $n \ge 1$, ta có:

$\sqrt{n} \ge 1$ và $\sqrt{n+2} \ge \sqrt{3}$

$\Rightarrow \sqrt{n+2} + \sqrt{n} \ge \sqrt{3} + 1$

$\Rightarrow u_n = \dfrac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} \le \dfrac{2}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} - 1$

Do đó, dãy số $u_n$ bị chặn trên bởi $\sqrt{3} - 1$.

Vì dãy số $u_n$ vừa bị chặn dưới vừa bị chặn trên nên dãy số $u_n$ bị chặn.

Timi · Answer

Để xét tính bị chặn của dãy số $ u_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n} $, trước hết chúng ta cần tìm biểu thức giới hạn của dãy này khi $ n $ tiến tới vô cùng.

Ta có:

$$
u_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}
$$

Chúng ta có thể nhân tử chung để đơn giản hóa biểu thức này:

$$
u_n = \frac{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \frac{(n + 2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}
$$

Bây giờ, ta sẽ xét giới hạn của $ u_n $ khi $ n $ tiến tới vô cùng:

$$
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}
$$

Khi $ n $ tiến tới vô cùng, $ \sqrt{n+2} $ và $ \sqrt{n} $ đều tiến tới $ \sqrt{n} $, do đó:

$$
\sqrt{n+2} + \sqrt{n} \approx 2\sqrt{n}
$$

Vậy giới hạn trở thành:

$$
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{2\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0
$$

Điều này cho thấy dãy $ u_n $ hội tụ về 0 khi $ n $ tiến tới vô cùng.

Tiếp theo, chúng ta kiểm tra xem dãy $ u_n $ có bị chặn không. Ta có:

$$
u_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}
$$

Dễ dàng nhận thấy $ u_n $ luôn dương vì $ \sqrt{n+2} > \sqrt{n} $ với mọi $ n \in \mathbb{N}^* $.

Ngoài ra, ta có thể tính giá trị lớn nhất của $ u_n $:

Để tìm giá trị lớn nhất của dãy $ u_n $, ta có thể tính giá trị tại một số $ n $ nhỏ:

- Khi $ n = 1 $:
  $$
  u_1 = \sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732
  $$
  
- Khi $ n = 2 $:
  $$
  u_2 = \sqrt{4} - \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 = 0.586
  $$
  
- Khi $ n = 3 $:
  $$
  u_3 = \sqrt{5} - \sqrt{3} \approx 2.236 - 1.732 = 0.504
  $$

Có thể thấy rằng $ u_n $ giảm khi $ n $ tăng. Do đó, giá trị lớn nhất của dãy là tại $ n = 1 $.

Kết luận:

Dãy $ u_n $ bị chặn bởi 0 và $ \sqrt{3} - 1 $ (gần 0.732).

Vậy $ u_n $ là một dãy số bị chặn.

Huycindy · Answer

$h)$ Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có:
$u_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$
$u_n = \dfrac{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$
$u_n = \dfrac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$
$u_n = \dfrac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$
Vì $n \geq 1$ nên $\sqrt{n+2} + \sqrt{n} > 0$
$u_n > 0$
Mặt khác, với $n \geq 1$ ta có:
$\sqrt{n+2} + \sqrt{n} \geq \sqrt{1+2} + \sqrt{1} = \sqrt{3} + 1$
$u_n \leq \dfrac{2}{\sqrt{3}+1}$
$u_n \leq \sqrt{3}-1$
Ta thấy $0 < u_n \leq \sqrt{3}-1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$
Vậy dãy số $u_n$ là dãy số bị chặn.

NganHa12 · Answer

1. Biến đổi dãy số bằng phương pháp nhân liên hợp

Để làm mất dạng hiệu của hai căn thức, ta nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp $(\sqrt{n+2} + \sqrt{n})$:

$u_n = \frac{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$

Sử dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ ở tử số:

$u_n = \frac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$

2. Tìm giới hạn của dãy số ($\lim u_n$)

Khi $n o +\infty$, ta thấy mẫu số $\ (\sqrt{n+2} + \sqrt{n}) o +\infty$.

Một hằng số chia cho một số vô cùng lớn sẽ tiến về $0$.

$\lim u_n = \lim \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = 0$

3. Xét tính đơn điệu của dãy số (Tăng hay Giảm?)

Ta xét hiệu hoặc so sánh trực tiếp giữa $u_n$ và $u_{n+1}$:

Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có:

$n < n + 1 \Rightarrow \sqrt{n} < \sqrt{n+1}$

$n + 2 < n + 3 \Rightarrow \sqrt{n+2} < \sqrt{n+3}$

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên, ta được:

$\sqrt{n+2} + \sqrt{n} < \sqrt{n+3} + \sqrt{n+1}$

Vì cả hai vế đều dương, khi nghịch đảo lại thì dấu bất đẳng thức sẽ đổi chiều:

$\frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} > \frac{2}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n+1}}$

$\Leftrightarrow u_n > u_{n+1}$

Kết luận: Dãy số $u_n$ là một dãy số giảm.

4. Xét tính bị chặn của dãy số

Bị chặn dưới: Vì $n \in \mathbb{N}^*$ nên $\sqrt{n+2} + \sqrt{n} > 0 \Rightarrow u_n = \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} > 0$. Do đó dãy số bị chặn dưới bởi $0$.

Bị chặn trên: Vì dãy số giảm dần nên giá trị lớn nhất của dãy sẽ đạt được tại số hạng đầu tiên $u_1$ (khi $n=1$).

$u_1 = \sqrt{1+2} - \sqrt{1} = \sqrt{3} - 1$

Do đó $u_n \le \sqrt{3} - 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ (bị chặn trên).

Kết luận: Dãy số $u_n$ bị chặn vì nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới ($0 < u_n \le \sqrt{3} - 1$).

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $10$ Xét tính bị chặn của dãy số sau.

1. Biến đổi dãy số bằng phương pháp nhân liên hợp

2. Tìm giới hạn của dãy số ($\lim u_n$)

3. Xét tính đơn điệu của dãy số (Tăng hay Giảm?)

4. Xét tính bị chặn của dãy số