Một miếng nhôm có bề ngang 32 cm được uốn cong tạo thành máng dẫn nước bằng chia tấm nhôm thành 3 phần rồi gấp 2 bên lại theo một góc vuông như hình vẽ dưới. Hỏi x bằng bao nhiêu để tạo ra máng có có diện tích mặt ngang S lớn nhất để có thể cho nước đi qua nhiều nhất ?

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5045045,"userName":"Lê Minh Dũng"}

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ext{Thành phần máng} & ext{Chiều cao hai bên thành máng (cm)} & ext{Chiều rộng đáy máng (cm)} & ext{Diện tích mặt ngang } S ext{ } (cm^2) \ \hline ext{Biểu thức} & x & 32 - 2x & x(32 - 2x) \ \hline \end{array}$

Gọi chiều cao hai bên thành máng được gấp lên là $x$ (cm).

Điều kiện: Do miếng nhôm được chia thành 3 phần và hai bên thành máng có độ cao bằng nhau nên $2x < 32 \Leftrightarrow 0 < x < 16$.

Khi đó, phần đáy phẳng còn lại của máng dẫn nước có chiều rộng là: $32 - 2x$ (cm).

Vì hai bên thành máng được gấp lên một góc vuông nên mặt cắt ngang của máng dẫn nước là một hình chữ nhật có chiều rộng bằng $x$ và chiều dài bằng $32 - 2x$.

Diện tích mặt ngang $S$ của máng dẫn nước được tính theo công thức:

$S = x(32 - 2x) = 32x - 2x^2$ ($cm^2$)

Để tìm giá trị $x$ sao cho diện tích mặt ngang $S$ lớn nhất, ta biến đổi biểu thức bậc hai trên:

$S = -2(x^2 - 16x) = -2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 64) + 128 = -2(x - 8)^2 + 128$

Do $(x - 8)^2 \ge 0$ với mọi $x$ nên $-2(x - 8)^2 \le 0$ với mọi $x$.

Suy ra: $S = -2(x - 8)^2 + 128 \le 128$ với mọi $x$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 8$ (thỏa mãn điều kiện $0 < x < 16$).

Vậy $x = 8$ cm thì máng tạo ra có diện tích mặt ngang $S$ lớn nhất (đạt $128$ $cm^2$) để có thể cho nước đi qua nhiều nhất.

Timi · Answer

Để tìm giá trị x (chiều cao của máng) sao cho diện tích mặt ngang S lớn nhất, ta cần làm theo các bước sau:

1. **Xác định diện tích mặt ngang**: 
   Máng được chia thành 3 phần, nghĩa là có 2 phần được gấp lên để tạo thành máng. Gọi chiều rộng của mặt đáy là y. Theo đó, chiều cao của máng là x và chiều rộng của mặt đáy là (32 - 2x). Diện tích mặt ngang S sẽ được tính bằng công thức:

$$
   S = y \cdot x
   $$

Trong đó, y được xác định từ chiều rộng của mặt đáy:

$$
   y = 32 - 2x
   $$

Vậy diện tích mặt ngang S trở thành:

$$
   S = (32 - 2x) \cdot x
   $$

Hay viết lại:

$$
   S = 32x - 2x^2
   $$

2. **Tìm cực trị của S**:
   Để tìm giá trị x mà tại đó S lớn nhất, ta cần lấy đạo hàm của S theo x và tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0:

$$
   S&#x27; = 32 - 4x
   $$

Đặt đạo hàm bằng 0:

$$
   32 - 4x = 0 \Rightarrow 4x = 32 \Rightarrow x = 8
   $$

3. **Kiểm tra tính lớn nhất**:
   Ta kiểm tra giá trị x = 8 có phải là cực đại hay không bằng cách tính đạo hàm bậc hai:

$$
   S&#x27;&#x27; = -4
   $$

Vì S&#x27;&#x27; < 0, nên x = 8 là điểm cực đại.

4. **Kết luận**:
   Vậy giá trị x để tạo ra máng có diện tích mặt ngang S lớn nhất là:

$$
   x = 8 \text{ cm}
   $$

Nhungluong · Answer

Để diện tích mặt ngang S của máng lớn nhất, ta cần xác định chiều cao và chiều rộng của máng dựa trên biến số x.

Giả sử hai phần bên được gấp lên có độ dài là x (cm). Do bề ngang tổng cộng của miếng nhôm ban đầu là 32 cm, nên phần đáy nằm ngang còn lại sẽ có độ dài là:

$32 - 2x$ (cm)

Điều kiện của x là:

$0 < x < 16$

Vì hai bên được gấp lên theo một góc vuông, mặt cắt ngang của máng dẫn nước sẽ có dạng một hình chữ nhật với chiều cao là x và chiều rộng đáy là $32 - 2x$.

Diện tích mặt ngang S của máng được tính theo công thức:

$S = x \cdot (32 - 2x)$

$S = 32x - 2x^2$

Đây là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới. Tọa độ đỉnh của parabol này đem lại giá trị lớn nhất cho S tại:

$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{32}{2 \cdot (-2)} = 8$ (thỏa mãn điều kiện)

x = 8 cm

Anh Trí · Answer

{"userId":5045045,"userName":"Lê Minh Dũng"}

Gọi x (cm) là chiều cao hai bên thành máng (0 < x < 16).

Chiều rộng đáy máng là 32 - 2x (cm).

Diện tích mặt cắt ngang của máng là S (cm²).

$S = x(32 - 2x)$

$= 32x - 2x^2$

$= -2(x^2 - 16x)$

$= -2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 64 - 64)$

$= -2[(x - 8)^2 - 64]$

$= -2(x - 8)^2 + 128$

Vì $(x - 8)^2 \ge 0$ với mọi x

$\Rightarrow -2(x - 8)^2 \le 0$ với mọi x

$\Rightarrow -2(x - 8)^2 + 128 \le 128$ với mọi x

$\Rightarrow S \le 128$

Dấu "=" xảy ra khi:

$x - 8 = 0$

$\Rightarrow x = 8$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x = 8 cm thì máng có diện tích mặt ngang lớn nhất.

Một miếng nhôm có bề ngang 32 cm được uốn cong tạo thành máng dẫn nước bằng chia tấm nhôm thành 3 phần rồi gấp 2 bên lại theo một góc vuông như hình vẽ dưới. Hỏi x bằng bao nhiêu để tạo ra máng có có d...