Giải bất phương trình sau: $\dfrac{2x - 4}{x + 3} \le 0$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$\dfrac{2x - 4}{x + 3} \leq 0$
ĐKXĐ: $x 
eq -3$
$\begin{cases} 2x - 4 \leq 0 \ x + 3 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x \leq 4 \ x > -3 \end{cases}$
$\begin{cases} x \leq 2 \ x > -3 \end{cases}$
$-3 < x \leq 2$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x \in (-3; 2]$.

Timi · Answer

Để giải bất phương trình $\dfrac{2x - 4}{x + 3} \le 0$, ta thực hiện các bước như sau:

1. **Tìm nghiệm của tử và mẫu:**
   - Tử số: $2x - 4 = 0$ dẫn đến $2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
   - Mẫu số: $x + 3 = 0$ dẫn đến $x = -3$.

2. **Xác định các khoảng:**
   Các nghiệm $x = -3$ và $x = 2$ chia trục số thành các khoảng:
   - $(-∞, -3)$
   - $(-3, 2)$
   - $(2, +∞)$

3. **Xét dấu của biểu thức trong từng khoảng:**
   - **Khoảng $(-∞, -3)$:** Chọn $x = -4$
     $$
     \dfrac{2(-4) - 4}{-4 + 3} = \dfrac{-8 - 4}{-1} = \dfrac{-12}{-1} = 12 \quad (\text{dương})
     $$
   - **Khoảng $(-3, 2)$:** Chọn $x = 0$
     $$
     \dfrac{2(0) - 4}{0 + 3} = \dfrac{-4}{3} \quad (\text{âm})
     $$
   - **Khoảng $(2, +∞)$:** Chọn $x = 3$
     $$
     \dfrac{2(3) - 4}{3 + 3} = \dfrac{6 - 4}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \quad (\text{dương})
     $$

4. **Tóm tắt dấu của biểu thức:**
   - Trong khoảng $(-∞, -3)$: Dương
   - Trong khoảng $(-3, 2)$: Âm
   - Trong khoảng $(2, +∞)$: Dương

5. **Tìm nghiệm thoả mãn bất phương trình:**
   Bất phương trình yêu cầu $\dfrac{2x - 4}{x + 3} \le 0$, tức là cần tìm khoảng có giá trị âm hoặc bằng 0.
   - Tại $x = 2$, $\dfrac{2(2) - 4}{2 + 3} = \dfrac{0}{5} = 0$ (thỏa mãn)
   - Tại $x = -3$, biểu thức không xác định vì mẫu số bằng 0.

6. **Kết luận:**
   Vậy, nghiệm của bất phương trình là:
   $$
   x \in (-3, 2]
   $$

**Đáp án:** $(-3, 2]$