Tìm số tự nhiên $x$, biết: $\dfrac{3^{x+2} + 3^{x+1} + 3^x}{39} = \dfrac{2^{2x} + 2^{2x+1} + 2^{2x+2}}{28}$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$\dfrac{3^{x+2} + 3^{x+1} + 3^x}{39} = \dfrac{2^{2x} + 2^{2x+1} + 2^{2x+2}}{28}$
$\dfrac{3^x \cdot (3^2 + 3 + 1)}{39} = \dfrac{2^{2x} \cdot (1 + 2 + 2^2)}{28}$
$\dfrac{3^x \cdot 13}{39} = \dfrac{4^x \cdot 7}{28}$
$\dfrac{3^x}{3} = \dfrac{4^x}{4}$
$3^{x-1} = 4^{x-1}$
$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{x-1} = 1$
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Vậy số tự nhiên cần tìm là $x = 1$.

Timi · Answer

Để giải phương trình đã cho, ta bắt đầu bằng cách đơn giản hóa các biểu thức ở hai vế.

Bên trái của phương trình:

$$
\dfrac{3^{x+2} + 3^{x+1} + 3^x}{39}
$$

Ta có thể viết lại:

$$
3^{x+2} + 3^{x+1} + 3^x = 3^x(3^2 + 3 + 1) = 3^x(9 + 3 + 1) = 3^x \cdot 13
$$

Vậy bên trái trở thành:

$$
\dfrac{3^x \cdot 13}{39} = \dfrac{3^x}{3} = \dfrac{3^{x-1}}{3}
$$

Bây giờ, bên phải của phương trình:

$$
\dfrac{2^{2x} + 2^{2x+1} + 2^{2x+2}}{28}
$$

Ta cũng có thể viết lại:

$$
2^{2x} + 2^{2x+1} + 2^{2x+2} = 2^{2x}(1 + 2 + 4) = 2^{2x} \cdot 7
$$

Vậy bên phải trở thành:

$$
\dfrac{2^{2x} \cdot 7}{28} = \dfrac{2^{2x}}{4} = \dfrac{2^{2x-2}}{4}
$$

Bây giờ, ta có phương trình sau khi đã đơn giản hóa:

$$
\dfrac{3^{x-1}}{3} = \dfrac{2^{2x-2}}{4}
$$

Ta nhân chéo để loại bỏ mẫu số:

$$
4 \cdot 3^{x-1} = 3 \cdot 2^{2x-2}
$$

Sắp xếp lại, ta có:

$$
4 \cdot 3^{x-1} = 3 \cdot \dfrac{2^{2x}}{4} \Rightarrow 16 \cdot 3^{x-1} = 3 \cdot 2^{2x}
$$

Bây giờ ta sẽ thử tìm nghiệm cho phương trình này. Để đơn giản, chúng ta có thể thử một số giá trị tự nhiên cho $ x $.

Thử với $ x = 0 $:

$$
16 \cdot 3^{-1} = 16 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{16}{3}
$$

$$
3 \cdot 2^{0} = 3 \cdot 1 = 3
$$

Không bằng nhau.

Thử với $ x = 1 $:

$$
16 \cdot 3^{0} = 16 \cdot 1 = 16
$$

$$
3 \cdot 2^{2} = 3 \cdot 4 = 12
$$

Không bằng nhau.

Thử với $ x = 2 $:

$$
16 \cdot 3^{1} = 16 \cdot 3 = 48
$$

$$
3 \cdot 2^{4} = 3 \cdot 16 = 48
$$

Bằng nhau.

Như vậy, nghiệm của phương trình là:

$$
\boxed{2}
$$