1, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{1}{x^2 - 2x} + \dfrac{1}{y^2 - 2y} = \dfrac{1}{3} \ \dfrac{2}{x^2 - 2x} - \dfrac{3}{y^2 - 2y} = -\dfrac{1}{3} \end{cases}$

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Để giải hệ phương trình sau:

$\begin{cases}\dfrac{1}{x^{2}-2x}+\dfrac{1}{y^{2}-2y}=\dfrac{1}{3}\ \dfrac{2}{x^{2}-2x}-\dfrac{3}{y^{2}-2y}=-\dfrac{1}{3}\end{cases}$

1. Điều kiện xác định

Hệ phương trình xác định khi mẫu thức khác 0:

• $x^2 - 2x \neq 0 \implies x(x - 2) \neq 0 \implies x \neq 0$ và $x \neq 2$.

• $y^2 - 2y \neq 0 \implies y(y - 2) \neq 0 \implies y \neq 0$ và $y \neq 2$.

2. Đặt ẩn phụ

Đặt $u = \dfrac{1}{x^2 - 2x}$ và $v = \dfrac{1}{y^2 - 2y}$. Hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases}u+v=\dfrac{1}{3}&(1)\ 2u-3v=-\dfrac{1}{3}&(2)\end{cases}$

3. Giải hệ phương trình ẩn $u, v$

Từ phương trình (1), ta có $u = \dfrac{1}{3} - v$. Thế vào phương trình (2):

$2\left(\frac{1}{3}-v\right)-3v=-\frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}-2v-3v=-\frac{1}{3}$

$-5v=-1\implies v=\frac{1}{5}$

Thay $v = \dfrac{1}{5}$ vào (1):

$u+\frac{1}{5}=\frac{1}{3}\implies u=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{2}{15}$

4. Tìm $x$ và $y$

• Với $u = \dfrac{2}{15}$:

$\frac{1}{x^{2}-2x}=\frac{2}{15}\implies 2x^{2}-4x=15\implies 2x^{2}-4x-15=0$

$\Delta ^{\prime }=(-2)^{2}-2(-15)=4+30=34>0$

$x=\frac{2\pm \sqrt{34}}{2}=1\pm \frac{\sqrt{34}}{2}$

• Với $v = \dfrac{1}{5}$:

$\frac{1}{y^{2}-2y}=\frac{1}{5}\implies y^{2}-2y=5\implies y^{2}-2y-5=0$

$\Delta ^{\prime }=(-1)^{2}-1(-5)=6>0$

$y=1\pm \sqrt{6}$

5. Kết luận

Các giá trị tìm được đều thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

$(x,y)\in \left\{\left(1\pm \frac{\sqrt{34}}{2};1\pm \sqrt{6}\right)\right\}$

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình sau:

$$
\begin{cases} 
\dfrac{1}{x^2 - 2x} + \dfrac{1}{y^2 - 2y} = \dfrac{1}{3} \ 
\dfrac{2}{x^2 - 2x} - \dfrac{3}{y^2 - 2y} = -\dfrac{1}{3} 
\end{cases}
$$

Đầu tiên, ta đặt:

$$
a = x^2 - 2x \quad \text{và} \quad b = y^2 - 2y
$$

Hệ phương trình trở thành:

$$
\begin{cases} 
\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{3} \ 
\dfrac{2}{a} - \dfrac{3}{b} = -\dfrac{1}{3} 
\end{cases}
$$

Giải phương trình đầu tiên:

$$
\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{3} \implies \dfrac{b + a}{ab} = \dfrac{1}{3} \implies 3(b + a) = ab
$$

Từ đó ta có:

$$
ab - 3a - 3b = 0
$$

Tiếp theo, giải phương trình thứ hai:

$$
\dfrac{2}{a} - \dfrac{3}{b} = -\dfrac{1}{3} \implies \dfrac{2b - 3a}{ab} = -\dfrac{1}{3} \implies 3(2b - 3a) = -ab
$$

Kết hợp với phương trình đầu tiên:

$$
3(2b - 3a) + ab = 0 \implies 6b - 9a + ab = 0 \implies ab + 6b - 9a = 0
$$

Bây giờ ta có hệ phương trình:

1. $ ab - 3a - 3b = 0 $
2. $ ab + 6b - 9a = 0 $

Từ phương trình (1), ta có $ ab = 3a + 3b $. Thay vào phương trình (2):

$$
3a + 3b + 6b - 9a = 0 \implies -6a + 9b = 0 \implies 2a = 3b \implies b = \dfrac{2}{3}a
$$

Thay $ b = \dfrac{2}{3}a $ vào phương trình (1):

$$
a \left(\dfrac{2}{3}a\right) - 3a - 3\left(\dfrac{2}{3}a\right) = 0
$$

Giải:

$$
\dfrac{2}{3}a^2 - 3a - 2a = 0 \implies \dfrac{2}{3}a^2 - 5a = 0
$$

Phương trình này có thể viết lại thành:

$$
a\left(\dfrac{2}{3}a - 5\right) = 0
$$

Vậy $ a = 0 $ hoặc $ a = \dfrac{15}{2} $.

1. Nếu $ a = 0 $: $ x^2 - 2x = 0 $ nên $ x(x - 2) = 0 $ có nghiệm $ x = 0 $ hoặc $ x = 2 $.
   
2. Nếu $ a = \dfrac{15}{2} $: $ x^2 - 2x - \dfrac{15}{2} = 0 $. Áp dụng công thức nghiệm:

$$
x = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\dfrac{15}{2}\right)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 30}}{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{34}}{2} = 1 \pm \sqrt{\dfrac{34}{4}} = 1 \pm \dfrac{\sqrt{34}}{2}
$$

Giải tương tự cho $ b = \dfrac{2}{3}a $:

$$
b = \dfrac{2}{3} \cdot 0 = 0 \quad \text{hoặc} \quad b = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{15}{2} = 5
$$

Từ $ b = 0 $: $ y^2 - 2y = 0 $ nên $ y(y - 2) = 0 $ có nghiệm $ y = 0 $ hoặc $ y = 2 $.

Từ $ b = 5 $: $ y^2 - 2y - 5 = 0 $:

$$
y = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}
$$

Tóm lại, các nghiệm của hệ phương trình là:

$$
(x, y) = (0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), \left(1 + \dfrac{\sqrt{34}}{2}, 1 + \sqrt{6}\right), \left(1 - \dfrac{\sqrt{34}}{2}, 1 + \sqrt{6}\right), \left(1 + \dfrac{\sqrt{34}}{2}, 1 - \sqrt{6}\right), \left(1 - \dfrac{\sqrt{34}}{2}, 1 - \sqrt{6}\right).
$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

$$
(x, y) = (0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), \left(1 + \dfrac{\sqrt{34}}{2}, 1 + \sqrt{6}\right), \left(1 - \dfrac{\sqrt{34}}{2}, 1 + \sqrt{6}\right), \left(1 + \dfrac{\sqrt{34}}{2}, 1 - \sqrt{6}\right), \left(1 - \dfrac{\sqrt{34}}{2}, 1 - \sqrt{6}\right).
$$

1, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{1}{x^2 - 2x} + \dfrac{1}{y^2 - 2y} = \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{2}{x^2 - 2x} - \dfrac{3}{y^2 - 2y} = -\dfrac{1}{3} \end{cases}$