6, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{4}{x + y} + \dfrac{1}{x - y} = 5 \ \dfrac{1}{x + y} - \dfrac{2}{x - y} = -1 \end{cases}$

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Để giải hệ phương trình sau:

$\begin{cases}\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{1}{x-y}=5\ \dfrac{1}{x+y}-\dfrac{2}{x-y}=-1\end{cases}$

Điều kiện xác định: $x + y \neq 0$ và $x - y \neq 0$.

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $a = \dfrac{1}{x+y}$ và $b = \dfrac{1}{x-y}$. Hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases}4a+b=5\quad (1)\ a-2b=-1\quad (2)\end{cases}$

Bước 2: Giải hệ phương trình theo $a$ và $b$

Từ phương trình $(1)$, ta có: $b = 5 - 4a$.

Thay vào phương trình $(2)$:

$a-2(5-4a)=-1$

$a-10+8a=-1$

$9a=9\implies a=1$

Thay $a = 1$ vào $b = 5 - 4a$:

$b=5-4(1)=1$

Bước 3: Tìm $x$ và $y$

Trả lại ẩn ban đầu:

$\begin{cases}\dfrac{1}{x+y}=1\ \dfrac{1}{x-y}=1\end{cases}\implies \begin{cases}x+y=1\quad (3)\ x-y=1\quad (4)\end{cases}$

Cộng $(3)$ và $(4)$ theo vế:

$2x=2\implies x=1$

Thay $x = 1$ vào $(3)$:

$1+y=1\implies y=0$

Bước 4: Kiểm tra điều kiện

Với $x = 1, y = 0$:

• $x + y = 1 \neq 0$

• $x - y = 1 \neq 0$

(Thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (1; 0)$.

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình sau:

$$
\begin{cases} 
\dfrac{4}{x + y} + \dfrac{1}{x - y} = 5 \ 
\dfrac{1}{x + y} - \dfrac{2}{x - y} = -1 
\end{cases}
$$

Ta đặt $ a = \dfrac{1}{x+y} $ và $ b = \dfrac{1}{x-y} $. Khi đó, hệ phương trình trở thành:

$$
\begin{cases} 
4a + b = 5 \ 
a - 2b = -1 
\end{cases}
$$

Giải phương trình đầu tiên $ 4a + b = 5 $, ta có:

$$
b = 5 - 4a
$$

Thay $ b $ vào phương trình thứ hai:

$$
a - 2(5 - 4a) = -1
$$

Giải phương trình này:

$$
a - 10 + 8a = -1 \implies 9a - 10 = -1 \implies 9a = 9 \implies a = 1
$$

Thay giá trị của $ a $ vào phương trình $ b = 5 - 4a $:

$$
b = 5 - 4(1) = 5 - 4 = 1
$$

Vậy ta có $ a = 1 $ và $ b = 1 $.

Nhắc lại định nghĩa của $ a $ và $ b $:

$$
a = \dfrac{1}{x+y} = 1 \implies x + y = 1
$$

$$
b = \dfrac{1}{x-y} = 1 \implies x - y = 1
$$

Giải hệ phương trình này:

$$
\begin{cases} 
x + y = 1 \ 
x - y = 1 
\end{cases}
$$

Cộng hai phương trình lại:

$$
(x + y) + (x - y) = 1 + 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1
$$

Thay $ x = 1 $ vào phương trình $ x + y = 1 $:

$$
1 + y = 1 \implies y = 0
$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

$$
(x, y) = (1, 0)
$$

Do đó, câu trả lời là $ x = 1 $ và $ y = 0 $.

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

$$\begin{cases}\frac{4}{x+y}+\frac{1}{x-y}=5 \ \frac{1}{x+y}-\frac{2}{x-y}=-1\end{cases}\left(x e\pm y ight)$$

Đặt $$\begin{cases}u=\frac{1}{x+y} \ v=\frac{1}{x-y}\end{cases}$$, ta có:

$$\begin{cases}4u+v=5 \ u-2v=-1\end{cases}$$

$$\begin{cases}8u+2v=10 \ u-2v=-1\end{cases}$$

$$\begin{cases}9u=9 \ v=5-4u\end{cases}$$

$$\begin{cases}u=1 \ v=1\end{cases}$$

Suy ra: $$\begin{cases}\frac{1}{x+y}=1 \ \frac{1}{x-y}=1\end{cases}$$

$$\begin{cases}x+y=1 \ x-y=1\end{cases}$$

$$\begin{cases}2x=2 \ y=1-x\end{cases}$$

$$\begin{cases}x=1 \ y=0\end{cases}$$ (thỏa mãn)

Vậy $$\left(x;y ight)=\left(1;0 ight)$$.

Lê Minh Dũng · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Đặt $a = \dfrac{1}{x+y}$ và $b = \dfrac{1}{x-y}$.

Hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases}4a+b=5\quad (1)\ a-2b=-1\quad (2)\end{cases}$

Từ (1), ta có $b = 5 - 4a$. Thế vào (2):

$a-2(5-4a)=-1$

$a-10+8a=-1$

$9a=9\implies a=1$

Thay $a = 1$ vào $b = 5 - 4a$, ta được:

$b=5-4(1)=1$

Với $a = 1$ và $b = 1$, ta có hệ:

$\begin{cases}\dfrac{1}{x+y}=1\ \dfrac{1}{x-y}=1\end{cases}\implies \begin{cases}x+y=1\quad (3)\ x-y=1\quad (4)\end{cases}$

Cộng (3) và (4) vế theo vế:

$2x=2\implies x=1$

Thay $x = 1$ vào (3):

$1+y=1\implies y=0$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (1; 0)$

6, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{4}{x + y} + \dfrac{1}{x - y} = 5 \\ \dfrac{1}{x + y} - \dfrac{2}{x - y} = -1 \end{cases}$