5, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{y - 1} = 2 \ \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{3}{y - 1} = 1 \end{cases}$

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Hệ phương trình:

$\begin{cases}\frac{1}{x-2}+\frac{1}{y-1}=2\ \frac{2}{x-2}-\frac{3}{y-1}=1\end{cases}$

Điều kiện xác định: $x \neq 2$ và $y \neq 1$.

________________________________________

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $u = \frac{1}{x - 2}$ và $v = \frac{1}{y - 1}$. Khi đó, hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases}u+v=2\quad (1)\ 2u-3v=1\quad (2)\end{cases}$

________________________________________

Bước 2: Giải hệ phương trình theo $u$ và $v$

Từ phương trình (1), ta có: $v = 2 - u$.

Thay vào phương trình (2):

$2u-3(2-u)=1$

$2u-6+3u=1$

$5u=7\implies u=\frac{7}{5}$

Thay $u = \frac{7}{5}$ vào phương trình $v = 2 - u$:

$v=2-\frac{7}{5}=\frac{3}{5}$

________________________________________

Bước 3: Tìm $x$ và $y$

• Với $u = \frac{7}{5}$, ta có:

$\frac{1}{x-2}=\frac{7}{5}\implies 7(x-2)=5\implies 7x-14=5\implies 7x=19\implies \mathbf{x=}\frac{\mathbf{19}}{\mathbf{7}}$

• Với $v = \frac{3}{5}$, ta có:

$\frac{1}{y-1}=\frac{3}{5}\implies 3(y-1)=5\implies 3y-3=5\implies 3y=8\implies \mathbf{y=}\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{3}}$

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện xác định.

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x; y) = \left(\frac{19}{7}; \frac{8}{3}\right)$

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình sau:

$$
\begin{cases} 
\dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{y - 1} = 2 \ 
\dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{3}{y - 1} = 1 
\end{cases}
$$

Đầu tiên, đặt:

$$
a = \dfrac{1}{x - 2} \quad \text{và} \quad b = \dfrac{1}{y - 1}
$$

Hệ phương trình trở thành:

$$
\begin{cases} 
a + b = 2 \ 
2a - 3b = 1 
\end{cases}
$$

Giải phương trình đầu tiên để tìm b:

Từ phương trình đầu tiên:

$$
b = 2 - a
$$

Thay $ b $ vào phương trình thứ hai:

$$
2a - 3(2 - a) = 1
$$

Giải phương trình này:

$$
2a - 6 + 3a = 1 \
5a - 6 = 1 \
5a = 7 \
a = \dfrac{7}{5}
$$

Sau khi tìm được $ a $, ta thay vào phương trình $ b = 2 - a $:

$$
b = 2 - \dfrac{7}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{3}{5}
$$

Bây giờ, chúng ta có $ a = \dfrac{7}{5} $ và $ b = \dfrac{3}{5} $. Nhớ lại các giá trị của $ a $ và $ b $:

$$
\dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{7}{5} \quad \text{và} \quad \dfrac{1}{y - 1} = \dfrac{3}{5}
$$

Giải từng phương trình:

1. Từ $ \dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{7}{5} $:

$$
x - 2 = \dfrac{5}{7} \
x = 2 + \dfrac{5}{7} = \dfrac{14}{7} + \dfrac{5}{7} = \dfrac{19}{7}
$$

2. Từ $ \dfrac{1}{y - 1} = \dfrac{3}{5} $:

$$
y - 1 = \dfrac{5}{3} \
y = 1 + \dfrac{5}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{5}{3} = \dfrac{8}{3}
$$

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:

$$
\left( x, y \right) = \left( \dfrac{19}{7}, \dfrac{8}{3} \right)
$$

**Đáp án:** $ x = \dfrac{19}{7}, y = \dfrac{8}{3} $

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

$$\begin{cases}\frac{1}{x-2}+\frac{1}{y-1}=2 \ \frac{2}{x-2}-\frac{3}{y-1}=1\end{cases}\left(x e2;y e1 ight)$$

Đặt $$\begin{cases}u=\frac{1}{x-2} \ v=\frac{1}{y-1}\end{cases}$$, ta có:

$$\begin{cases}u+v=2 \ 2u-3v=1\end{cases}$$

$$\begin{cases}2u+2v=4 \ 2u-3v=1\end{cases}$$

$$\begin{cases}5v=3 \ u=2-v\end{cases}$$

$$\begin{cases}v=\frac{3}{5} \ u=\frac{7}{5}\end{cases}$$

Suy ra: $$\begin{cases}\frac{1}{x-2}=\frac{7}{5} \ \frac{1}{y-1}=\frac{3}{5}\end{cases}$$

$$\begin{cases}7\left(x-2 ight)=5 \ 3\left(y-1 ight)=5\end{cases}$$

$$\begin{cases}7x-14=5 \ 3y-3=5\end{cases}$$

$$\begin{cases}7x=19 \ 3y=8\end{cases}$$

$$\begin{cases}x=\frac{19}{7} \ y=\frac{8}{3}\end{cases}$$ (thỏa mãn)

Vậy $$\left(x;y ight)=\left(\frac{19}{7};\frac{8}{3} ight)$$.

Joy · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

$\begin{cases}\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{y-1}=2\quad (1)\ \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{y-1}=1\quad (2)\end{cases}$

Hệ phương trình có nghĩa khi mẫu thức khác 0:

$-$$x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$-$$y - 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$

Đặt $u = \dfrac{1}{x - 2}$ và $v = \dfrac{1}{y - 1}$. Hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases}u+v=2\quad (3)\ 2u-3v=1\quad (4)\end{cases}$

Từ phương trình $(3)$, ta có $v = 2 - u$. Thế vào phương trình $(4)$:

$2u-3(2-u)=1$

$2u-6+3u=1$

$5u=7\Rightarrow u=\dfrac{7}{5}$

Thay $u = \dfrac{7}{5}$ vào $v = 2 - u$:

$v=2-\dfrac{7}{5}=\dfrac{3}{5}$

Với $u = \dfrac{7}{5}$:

$\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{7}{5}\Rightarrow 7(x-2)=5\Rightarrow 7x-14=5\Rightarrow 7x=19\Rightarrow x=\dfrac{19}{7}\text{(thảo mãn)}$

Với $v = \dfrac{3}{5}$:

$\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow 3(y-1)=5\Rightarrow 3y-3=5\Rightarrow 3y=8\Rightarrow y=\dfrac{8}{3}\text{ (thảo mãn)}$

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = \left( \dfrac{19}{7}; \dfrac{8}{3} \right)$.

5, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{y - 1} = 2 \\ \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{3}{y - 1} = 1 \end{cases}$