8, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} x^2 + 2y^2 - 3x + 2y = 0 \ x^2 + 3xy - 4y^2 = 0 \end{cases}$

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Giải hệ phương trình

Hệ phương trình:

(1) $\quad x^2 + 2y^2 - 3x + 2y = 0$

(2) $\quad x^2 + 3xy - 4y^2 = 0$

________________________________________

Bước 1: Phân tích phương trình (2)

Phương trình (2) là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với $x$ và $y$:

$x^{2}+3xy-4y^{2}=0$

Ta có thể phân tích thành nhân tử:

$x^{2}-xy+4xy-4y^{2}=0$

$x(x-y)+4y(x-y)=0$

$(x-y)(x+4y)=0$

Điều này dẫn đến hai trường hợp:

1. Trường hợp 1: $x - y = 0 \Rightarrow x = y$

2. Trường hợp 2: $x + 4y = 0 \Rightarrow x = -4y$

________________________________________

Bước 2: Giải từng trường hợp

Trường hợp 1: $x = y$

Thay $x = y$ vào phương trình (1):

$x^{2}+2x^{2}-3x+2x=0$

$3x^{2}-x=0$

$x(3x-1)=0$

• Nếu $x = 0 \Rightarrow y = 0$

• Nếu $3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{1}{3}$

Ta được hai nghiệm: $(0, 0)$ và $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$.

Trường hợp 2: $x = -4y$

Thay $x = -4y$ vào phương trình (1):

$(-4y)^{2}+2y^{2}-3(-4y)+2y=0$

$16y^{2}+2y^{2}+12y+2y=0$

$18y^{2}+14y=0$

$2y(9y+7)=0$

• Nếu $y = 0 \Rightarrow x = -4(0) = 0$ (Trùng với nghiệm trên)

• Nếu $9y + 7 = 0 \Rightarrow y = -\frac{7}{9} \Rightarrow x = -4(-\frac{7}{9}) = \frac{28}{9}$

Ta được thêm nghiệm: $(\frac{28}{9}, -\frac{7}{9})$.

________________________________________

Kết luận

Hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm $(x, y)$ là:

$(0,0);\quad \left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right);\quad \left(\frac{28}{9},-\frac{7}{9}\right)$

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình sau:

$$
\begin{cases} 
x^2 + 2y^2 - 3x + 2y = 0 \ 
x^2 + 3xy - 4y^2 = 0 
\end{cases}
$$

Ta sẽ bắt đầu từ phương trình đầu tiên:

1. **Giải phương trình đầu tiên:**

$$
   x^2 + 2y^2 - 3x + 2y = 0
   $$

Ta có thể nhóm lại các hạng tử:

$$
   x^2 - 3x + 2y^2 + 2y = 0
   $$

Tái tổ chức lại cho phương trình có dạng rõ hơn. Đặt $f(x) = x^2 - 3x$, ta có:

$$
   f(x) + 2y^2 + 2y = 0
   $$

Phương trình $f(x)$ có thể được viết dưới dạng:

$$
   f(x) = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}
   $$

Vì vậy, phương trình trở thành:

$$
   (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 2y^2 + 2y = 0
   $$

Tuy nhiên, để đơn giản hơn, ta chuyển sang phương trình thứ hai.

2. **Giải phương trình thứ hai:**

$$
   x^2 + 3xy - 4y^2 = 0
   $$

Ta có thể viết lại thành phương trình bậc hai theo $x$:

$$
   x^2 + 3xy - 4y^2 = 0
   $$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$:

$$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$

Trong trường hợp này, $a = 1$, $b = 3y$, $c = -4y^2$:

$$
   b^2 - 4ac = (3y)^2 - 4(1)(-4y^2) = 9y^2 + 16y^2 = 25y^2
   $$

Do đó,

$$
   x = \frac{-3y \pm 5y}{2}
   $$

Từ đó, ta có hai trường hợp:

- Trường hợp 1: $x = \frac{2y}{2} = y$
   - Trường hợp 2: $x = \frac{-8y}{2} = -4y$

3. **Xét trường hợp 1: $x = y$**

Thay vào phương trình đầu tiên:

$$
   y^2 + 2y^2 - 3y + 2y = 0 \implies 3y^2 - y = 0 \implies y(3y - 1) = 0
   $$

Vậy $y = 0$ hoặc $y = \frac{1}{3}$.

Khi $y = 0$, thì $x = 0$.

Khi $y = \frac{1}{3}$, thì $x = \frac{1}{3}$.

**Nghiệm 1:** $(0, 0)$ và $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

4. **Xét trường hợp 2: $x = -4y$**

Thay vào phương trình đầu tiên:

$$
   (-4y)^2 + 2y^2 - 3(-4y) + 2y = 0
   $$

$$
   16y^2 + 2y^2 + 12y + 2y = 0 \implies 18y^2 + 14y = 0 \implies 2y(9y + 7) = 0
   $$

Vậy $y = 0$ hoặc $y = -\frac{7}{9}$.

Khi $y = 0$, thì $x = 0$.

Khi $y = -\frac{7}{9}$, thì $x = -\frac{28}{9}$.

**Nghiệm 2:** $(0, 0)$ và $(- \frac{28}{9}, -\frac{7}{9})$

5. **Tóm tắt các nghiệm:**

Các nghiệm của hệ phương trình là:

$$
   (0, 0), \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right), \left(-\frac{28}{9}, -\frac{7}{9}\right)
   $$

**Đáp án:** $(0, 0)$, $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$, $\left(-\frac{28}{9}, -\frac{7}{9}\right)$

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

$$\begin{cases}x^2+2y^2-3x+2y=0\left(1 ight) \ x^2+3xy-4y^2=0\left(2 ight)\end{cases}$$

Từ (2) ta có:

$$x^2-xy+4xy-4y^2=0$$

$$x\left(x-y ight)+4y\left(x-y ight)=0$$

$$\left(x-y ight)\left(x+4y ight)=0$$

$$\left[\begin{matrix}x=y \ x=-4y\end{matrix} ight.$$

Trường hợp 1: $$x=y$$

Thay $$x=y$$ vào (1):

$$y^2+2y^2-3y+2y=0$$

$$3y^2-y=0$$

$$y\left(3y-1 ight)=0$$

$$\left[\begin{matrix}y=0 \ y=\frac{1}{3}\end{matrix} ight.$$

Với $$y=0$$ thì $$x=0$$

Với $$y=\frac{1}{3}$$ thì $$x=\frac{1}{3}$$

Trường hợp 2: $$x=-4y$$

Thay $$x=-4y$$ vào (1):

$$\left(-4y ight)^2+2y^2-3.\left(-4y ight)+2y=0$$

$$16y^2+2y^2+12y+2y=0$$

$$18y^2+14y=0$$

$$2y.\left(9y+7 ight)=0$$

$$\left[\begin{matrix}y=0 \ y=-\frac{7}{9}\end{matrix} ight.$$

Với $$y=0$$ thì $$x=0$$

Với $$y=-\frac{7}{9}$$ thì $$x=-4.\left(-\frac{7}{9} ight)=\frac{28}{9}$$

Vậy $$\left(x;y ight)\in\left\lbrace\left(0;0 ight),\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3} ight),\left(\frac{28}{9};-\frac{7}{9} ight) ight brace$$.

8, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} x^2 + 2y^2 - 3x + 2y = 0 \\ x^2 + 3xy - 4y^2 = 0 \end{cases}$