7, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} x + y + xy = 5 \ x^2 + y^2 + xy = 7 \end{cases}$

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Hệ phương trình:

$\begin{cases}x+y+xy=5\quad (1)\ x^{2}+y^{2}+xy=7\quad (2)\end{cases}$

________________________________________

Bước 1: Biến đổi hệ phương trình

Ta có thể viết lại phương trình (2) dưới dạng tổng và tích của $x$ và $y$:

$x^{2}+y^{2}+xy=(x+y)^{2}-2xy+xy=(x+y)^{2}-xy=7$

Đặt $S = x + y$ và $P = xy$. Hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases}S+P=5\quad (3)\ S^{2}-P=7\quad (4)\end{cases}$

Bước 2: Giải hệ phương trình theo $S$ và $P$

Cộng phương trình (3) và (4) vế theo vế:

$(S+P)+(S^{2}-P)=5+7$

$S^{2}+S-12=0$

Giải phương trình bậc hai theo $S$:

$(S+4)(S-3)=0$

Từ đó ta có hai trường hợp:

• Trường hợp 1: $S = 3$

Thay vào (3): $3 + P = 5 \Rightarrow P = 2$.

• Trường hợp 2: $S = -4$

Thay vào (3): $-4 + P = 5 \Rightarrow P = 9$.

Bước 3: Tìm $x$ và $y$

Trường hợp 1: $S = 3, P = 2$

$x$ và $y$ là nghiệm của phương trình: $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Các nghiệm là $t = 1$ và $t = 2$.

Vậy ta có các cặp nghiệm: $(1, 2)$ và $(2, 1)$.

Trường hợp 2: $S = -4, P = 9$

$x$ và $y$ là nghiệm của phương trình: $t^2 + 4t + 9 = 0$.

Tính biệt thức: $\Delta = 4^2 - 4(1)(9) = 16 - 36 = -20 < 0$.

Phương trình này vô nghiệm (không có số thực $x, y$ thỏa mãn).

________________________________________

Kết luận:

Hệ phương trình đã cho có các nghiệm thực $(x, y)$ là:

$(1, 2)$ và $(2, 1)$.

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình sau:

$$
\begin{cases}
x + y + xy = 5 \quad (1) \
x^2 + y^2 + xy = 7 \quad (2)
\end{cases}
$$

Chúng ta có thể bắt đầu từ phương trình (1). Từ (1), ta có thể biểu diễn $ xy $ theo $ x $ và $ y $:

$$
xy = 5 - x - y \quad (3)
$$

Bây giờ, chúng ta sẽ tính $ x^2 + y^2 $ từ (2). Ta biết rằng:

$$
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy
$$

Thay $ xy $ từ (3) vào công thức trên, ta có:

$$
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2(5 - x - y)
$$

Gọi $ s = x + y $, khi đó:

$$
x^2 + y^2 = s^2 - 2(5 - s) = s^2 - 10 + 2s = s^2 + 2s - 10 \quad (4)
$$

Giờ thay $ x^2 + y^2 $ từ (4) vào (2):

$$
s^2 + 2s - 10 + xy = 7
$$

Thay $ xy $ từ (3):

$$
s^2 + 2s - 10 + (5 - s) = 7
$$

Rút gọn phương trình trên:

$$
s^2 + 2s - 5 - s = 7 \
s^2 + s - 12 = 0
$$

Giải phương trình bậc hai này:

$$
s = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}
$$

Ta có hai giá trị:

1. $ s = \frac{6}{2} = 3 $
2. $ s = \frac{-8}{2} = -4 $

Xét trường hợp $ s = 3 $:

Thay vào (3) để tìm $ xy $:

$$
xy = 5 - s = 5 - 3 = 2
$$

Giờ chúng ta có:

$$
x + y = 3 \quad (5) \
xy = 2 \quad (6)
$$

Phương trình bậc hai có dạng:

$$
t^2 - (x+y)t + xy = 0 \
t^2 - 3t + 2 = 0
$$

Giải phương trình bậc hai này:

$$
t = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}
$$

Ta có hai nghiệm:

1. $ t = \frac{4}{2} = 2 $
2. $ t = \frac{2}{2} = 1 $

Vậy $ x $ và $ y $ có thể là $ 1 $ và $ 2 $.

Xét trường hợp $ s = -4 $:

Thay vào (3) để tìm $ xy $:

$$
xy = 5 - (-4) = 9
$$

Giờ chúng ta có:

$$
x + y = -4 \quad (7) \
xy = 9 \quad (8)
$$

Phương trình bậc hai có dạng:

$$
t^2 - (x+y)t + xy = 0 \
t^2 + 4t + 9 = 0
$$

Tính delta:

$$
\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20
$$

Vì delta âm nên không có nghiệm thực trong trường hợp này.

Cuối cùng, nghiệm của hệ phương trình là:

$$
(x, y) = (1, 2) \quad \text{hoặc} \quad (2, 1)
$$

**Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là $ (1, 2) $ và $ (2, 1) $.**

7, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} x + y + xy = 5 \\ x^2 + y^2 + xy = 7 \end{cases}$