2, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = 2m - 1 \ x^2 + y^2 = m^2 + 2m - 3 \end{cases}$ (với $m$ là tham số)

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm $(x; y)$.

Question

2, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = 2m - 1 \ x^2 + y^2 = m^2 + 2m - 3 \end{cases}$ (với $m$ là tham số)

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm $(x; y)$.

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Cho hệ phương trình:

$\begin{cases}x+y=2m-1\quad (1)\ x^{2}+y^{2}=m^{2}+2m-3\quad (2)\end{cases}$

Để hệ phương trình có nghiệm $(x; y)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Biến đổi hệ phương trình:

Từ phương trình $(1)$, ta có $x + y = 2m - 1$.

Bình phương hai vế: $(x + y)^2 = (2m - 1)^2$

$\Leftrightarrow x^2 + y^2 + 2xy = 4m^2 - 4m + 1$

Thay $(2)$ vào biểu thức trên:

$(m^2 + 2m - 3) + 2xy = 4m^2 - 4m + 1$

$\Leftrightarrow 2xy = (4m^2 - 4m + 1) - (m^2 + 2m - 3)$

$\Leftrightarrow 2xy = 3m^2 - 6m + 4$

$\Leftrightarrow xy = \frac{3m^2 - 6m + 4}{2}$

2. Điều kiện để hệ có nghiệm:

Đặt $S = x + y$ và $P = xy$. Theo định lý Vi-ét đảo, $x$ và $y$ là nghiệm của phương trình bậc hai:

$t^{2}-St+P=0$

Để tồn tại $x, y$, điều kiện là $\Delta \ge 0$, hay $S^2 \ge 4P$.

Thay $S = 2m - 1$ và $P = \frac{3m^2 - 6m + 4}{2}$ vào bất phương trình:

$(2m-1)^{2}\ge 4\left(\frac{3m^{2}-6m+4}{2}\right)$

$\Leftrightarrow 4m^{2}-4m+1\ge 2(3m^{2}-6m+4)$

$\Leftrightarrow 4m^{2}-4m+1\ge 6m^{2}-12m+8$

$\Leftrightarrow -2m^{2}+8m-7\ge 0$

$\Leftrightarrow 2m^{2}-8m+7\le 0$

3. Giải bất phương trình bậc hai:

Xét phương trình $2m^2 - 8m + 7 = 0$:

$\Delta ^{\prime }=(-4)^{2}-2\cdot 7=16-14=2$

Nghiệm của phương trình là $m = \frac{4 \pm \sqrt{2}}{2} = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

$\frac{4-\sqrt{2}}{2}\le m\le \frac{4+\sqrt{2}}{2}$

Kết luận:

Giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm là $m \in \left[ \frac{4 - \sqrt{2}}{2}; \frac{4 + \sqrt{2}}{2} \right]$

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình:

$$
\begin{cases}
x + y = 2m - 1 \quad (1) \
x^2 + y^2 = m^2 + 2m - 3 \quad (2)
\end{cases}
$$

Bước đầu tiên, từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn $y$ theo $x$:

$$
y = 2m - 1 - x \quad (3)
$$

Thay biểu thức (3) vào phương trình (2):

$$
x^2 + (2m - 1 - x)^2 = m^2 + 2m - 3
$$

Giải phương trình này:

$$
x^2 + (2m - 1)^2 - 2(2m - 1)x + x^2 = m^2 + 2m - 3
$$

Sắp xếp lại:

$$
2x^2 - 2(2m - 1)x + (2m - 1)^2 - (m^2 + 2m - 3) = 0
$$

Tiến hành tính toán:

$$
(2m - 1)^2 - (m^2 + 2m - 3) = 4m^2 - 4m + 1 - m^2 - 2m + 3
$$

$$
= 3m^2 - 6m + 4
$$

Thay vào phương trình:

$$
2x^2 - 2(2m - 1)x + 3m^2 - 6m + 4 = 0
$$

Để hệ phương trình có nghiệm $x$, chúng ta cần điều kiện cho định thức $D$ của phương trình bậc 2 này không âm:

$$
D = b^2 - 4ac
$$

Với $a = 2$, $b = -2(2m - 1) = -4m + 2$ và $c = 3m^2 - 6m + 4$:

$$
D = (-4m + 2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3m^2 - 6m + 4)
$$

Tính $D$:

$$
D = (16m^2 - 16m + 4) - 8(3m^2 - 6m + 4)
$$

$$
= 16m^2 - 16m + 4 - 24m^2 + 48m - 32
$$

$$
= -8m^2 + 32m - 28
$$

Để tìm giá trị của $m$ sao cho $D \geq 0$:

$$
-8m^2 + 32m - 28 \geq 0
$$

Chia cả phương trình cho -8 (đảo ngược dấu):

$$
m^2 - 4m + 3 \leq 0
$$

Giải phương trình bậc 2:

$$
(m - 1)(m - 3) \leq 0
$$

Giải bất phương trình:

Nghiệm của bất phương trình này là:

$$
1 \leq m \leq 3
$$

Vậy, tất cả các giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm $(x; y)$ là:

$$
\boxed{[1; 3]}
$$

Lê Minh Dũng · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Từ phương trình $(1)$, ta có tổng $S = x + y = 2m - 1$.

Từ phương trình $(2)$, ta có:

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$

$\Rightarrow m^2 + 2m - 3 = (2m - 1)^2 - 2xy$

Giải tìm tích $P = xy$:

$2xy = (2m - 1)^2 - (m^2 + 2m - 3)$

$2xy = (4m^2 - 4m + 1) - (m^2 + 2m - 3)$

$2xy = 3m^2 - 6m + 4$

$\Rightarrow P = xy = \frac{3m^2 - 6m + 4}{2}$

Để tồn tại $x$ và $y$, theo định lý Vi-ét đảo, $x$ và $y$ là nghiệm của phương trình bậc hai: $t^2 - St + P = 0$.Điều kiện để phương trình này có nghiệm là $S^2 \ge 4P$:

$(2m-1)^{2}\ge 4\left(\frac{3m^{2}-6m+4}{2}\right)$

$4m^{2}-4m+1\ge 2(3m^{2}-6m+4)$

$4m^{2}-4m+1\ge 6m^{2}-12m+8$

$-2m^{2}+8m-7\ge 0$

$2m^{2}-8m+7\le 0$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

$\frac{4-\sqrt{2}}{2}\le m\le \frac{4+\sqrt{2}}{2}$

2, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = 2m - 1 \\ x^2 + y^2 = m^2 + 2m - 3 \end{cases}$ (với $m$ là tham số) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm $(x; y)$.