3, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} mx + y = m + 1 \ x + my = 2m \end{cases}$ (với $m$ là tham số)
Tìm tất cả các giá trị nguyên của $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y)$ sao cho cả $x$ và $y$ đều nhận giá trị nguyên.

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

3. Cho hệ phương trình:

$\begin{cases}mx+y=m+1\quad (1)\ x+my=2m\quad (2)\end{cases}$

Tìm tất cả các giá trị nguyên của $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y)$ sao cho cả $x$ và $y$ đều nhận giá trị nguyên.

________________________________________

Bước 1: Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

$\frac{m}{1}\ne \frac{1}{m}\Leftrightarrow m^{2}\ne 1\Leftrightarrow m\ne \pm 1$

Bước 2: Giải hệ phương trình theo $m$

Từ phương trình (1), ta có: $y = m + 1 - mx$.

Thay vào phương trình (2):

$x+m(m+1-mx)=2m$

$x+m^{2}+m-m^{2}x=2m$

$x(1-m^{2})=m-m^{2}$

$x(1-m)(1+m)=m(1-m)$

Vì $m \neq 1$, ta có thể chia cả hai vế cho $(1 - m)$:

$x(1+m)=m\Rightarrow \mathbf{x=}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{m+1}}$

Thay $x$ vào biểu thức của $y$:

$y=m+1-m\left(\frac{m}{m+1}\right)=\frac{(m+1)^{2}-m^{2}}{m+1}=\frac{m^{2}+2m+1-m^{2}}{m+1}\Rightarrow \mathbf{y=}\frac{\mathbf{2m+1}}{\mathbf{m+1}}$

Bước 3: Tìm $m \in \mathbb{Z}$ để $x, y \in \mathbb{Z}$

Ta biểu diễn $x$ và $y$ dưới dạng phân số tối giản:

• $x = \frac{m}{m + 1} = \frac{m + 1 - 1}{m + 1} = 1 - \frac{1}{m + 1}$

• $y = \frac{2m + 1}{m + 1} = \frac{2(m + 1) - 1}{m + 1} = 2 - \frac{1}{m + 1}$

Để $x$ và $y$ là các số nguyên, thì $\frac{1}{m+1}$ phải là số nguyên.

Điều này có nghĩa là $(m + 1)$ phải là ước của 1.

$(1)=\{1;-1\}$

• Trường hợp 1: $m + 1 = 1 \Rightarrow m = 0$ (thỏa mãn $m \neq \pm 1$)

o Khi đó $x = 0, y = 1$ (nguyên).

• Trường hợp 2: $m + 1 = -1 \Rightarrow m = -2$ (thỏa mãn $m \neq \pm 1$)

o Khi đó $x = 2, y = 3$ (nguyên).

Kết luận:

Các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $m \in \{0; -2\}$

Timi · Answer

Để tìm tất cả các giá trị nguyên của $ m $ để hệ phương trình

$$
\begin{cases} 
mx + y = m + 1 \ 
x + my = 2m 
\end{cases}
$$

có nghiệm duy nhất $(x, y)$ với cả $ x $ và $ y $ đều là số nguyên, chúng ta sẽ phân tích hệ phương trình này.

Trước hết, ta viết lại hệ phương trình dưới dạng ma trận để tìm điều kiện có nghiệm duy nhất. Hệ phương trình có thể được viết dưới dạng ma trận:

$$
\begin{pmatrix} m & 1 \ 1 & m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m + 1 \ 2m \end{pmatrix}
$$

Để hệ có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác không:

$$
\text{Det} = m \cdot m - 1 \cdot 1 = m^2 - 1
$$

Điều kiện có nghiệm duy nhất là:

$$
m^2 - 1 \neq 0 \implies m^2 \neq 1 \implies m \neq 1 \text{ và } m \neq -1
$$

Tiếp theo, để nghiệm $(x, y)$ là các số nguyên, chúng ta sẽ giải hệ phương trình.

Từ phương trình thứ nhất, ta có:

$$
y = m + 1 - mx \tag{1}
$$

Thay $ y $ vào phương trình thứ hai:

$$
x + m(m + 1 - mx) = 2m
$$

Mở rộng và sắp xếp lại:

$$
x + m(m + 1) - m^2x = 2m \implies (1 - m^2)x + m(m + 1) = 2m
$$

Từ đây, ta có:

$$
(1 - m^2)x = 2m - m(m + 1) \implies (1 - m^2)x = 2m - m^2 - m \implies (1 - m^2)x = m - m^2
$$

Chia hai vế cho $ 1 - m^2 $ (với điều kiện $ m \neq 1, -1 $):

$$
x = \frac{m - m^2}{1 - m^2} = \frac{m(1 - m)}{1 - m^2} = \frac{m(1 - m)}{(1 - m)(1 + m)} = \frac{m}{1 + m}
$$

Giá trị của $ x $ là nguyên khi $ \frac{m}{1 + m} $ là nguyên, tức là $ m $ phải chia hết cho $ 1 + m $.

Khi $ m = 0 $, $ x = 0 $ (là nguyên) và từ (1), $ y = 1$ (là nguyên), vì vậy $ m = 0 $ là một giá trị hợp lệ.

Kiểm tra các giá trị nguyên khác:

- Nếu $ m = 2 $, thì $ x = \frac{2}{3} $ (không nguyên).
- Nếu $ m = -2 $, thì $ x = \frac{-2}{-1} = 2$ (nguyên) và từ (1), $ y = 0 $ (nguyên).
- Các giá trị khác cũng có thể thử nhưng có thể không cho nghiệm nguyên.

Cuối cùng, ta có hai giá trị $ m = 0 $ và $ m = -2 $ cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x, y)$ là các số nguyên.

Vậy các giá trị nguyên của $ m $ là:

$$
\boxed{0 \text{ và } -2}
$$

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

$$\begin{cases}mx+y=m+1\left(1 ight) \ x+my=2m\left(2 ight)\end{cases}$$

Hệ phương trình có nghiệm khi: $$\frac{m}{1} e\frac{1}{m}$$ hay $$m^2 e1$$ hay $$m e\pm1$$

Từ (1) ta có: $$y=m+1-mx$$, thay vào (2):

$$x+m.\left(m+1-mx ight)=2m$$

$$x+m^2+m-m^2x=2m$$

$$x\left(1-m^2 ight)=m-m^2$$

$$x=\frac{m.\left(1-m ight)}{\left(1-m ight)\left(1+m ight)}=\frac{m}{1+m}=1-\frac{1}{m+1}$$

Suy ra: $$y=m+1-m.\left(\frac{m}{m+1} ight)=\frac{\left(m+1 ight)^2-m^2}{m+1}=\frac{2m+1}{m+1}=2-\frac{1}{m+1}$$

Để $$x,y\in Z$$ thì $$\frac{1}{m+1}$$ phải là số nguyên hay $$\left(m+1 ight)\inƯ\left(1 ight)=\left\lbrace-1;1 ight brace$$

Suy ra: $$m\in\left\lbrace-2;0 ight brace$$

Vậy $$m\in\left\lbrace-2;0 ight brace$$.

Lê Minh Dũng · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Hệ phương trình:

$\begin{cases}mx+y=m+1\quad (1)\ x+my=2m\quad (2)\end{cases}$H

ệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

$\frac{m}{1}\ne \frac{1}{m}\Leftrightarrow m^{2}\ne 1\Leftrightarrow m\ne \pm 1$

Từ $(1) \Rightarrow y = m + 1 - mx$. Thế vào $(2)$:

$x+m(m+1-mx)=2m$

$x+m^{2}+m-m^{2}x=2m$

$x(1-m^{2})=m-m^{2}$

$x(1-m)(1+m)=m(1-m)$

Vì $m \neq 1$, ta chia cả hai vế cho

$(1 - m)$:$x(1+m)=m\Rightarrow x=\frac{m}{m+1}=\frac{m+1-1}{m+1}=1-\frac{1}{m+1}$

Thay $x$ vào biểu thức của $y$:

$y=m+1-m\left(\frac{m}{m+1}\right)=\frac{(m+1)^{2}-m^{2}}{m+1}=\frac{m^{2}+2m+1-m^{2}}{m+1}=\frac{2m+1}{m+1}$

$y=\frac{2(m+1)-1}{m+1}=2-\frac{1}{m+1}$

Để $x = 1 - \frac{1}{m + 1}$ và $y = 2 - \frac{1}{m + 1}$ là các số nguyên, thì:

$(m+1)\in (1)=\{1;-1\}$

Trường hợp 1: $m + 1 = 1 \Rightarrow m = 0$ (thỏa mãn $m \neq \pm 1$)

Trường hợp 2: $m + 1 = -1 \Rightarrow m = -2$ (thỏa mãn $m \neq \pm 1$)

3, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} mx + y = m + 1 \\ x + my = 2m \end{cases}$ (với $m$ là tham số) Tìm tất cả các giá trị nguyên của $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y)$ sao cho cả $x$...