4, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{2x}{x + 1} + \dfrac{y}{y - 1} = 3 \ \dfrac{x}{x + 1} - \dfrac{3y}{y - 1} = -2 \end{cases}$

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Giải hệ phương trình

$\begin{cases}\dfrac{2x}{x+1}+\dfrac{y}{y-1}=3\ \dfrac{x}{x+1}-\dfrac{3y}{y-1}=-2\end{cases}$

1. Điều kiện xác định

Để các phân thức có nghĩa, ta cần:

• $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

• $y - 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$

________________________________________

2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt $u = \dfrac{x}{x+1}$ và $v = \dfrac{y}{y-1}$. Hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases}2u+v=3\quad (1)\ u-3v=-2\quad (2)\end{cases}$

________________________________________

3. Giải hệ phương trình ẩn $u, v$

Từ phương trình (1), ta có: $v = 3 - 2u$.

Thay vào phương trình (2):

$u-3(3-2u)=-2$

$u-9+6u=-2$

$7u=7\Rightarrow \mathbf{u=1}$

Thay $u = 1$ vào $v = 3 - 2u$:

$v=3-2(1)\Rightarrow \mathbf{v=1}$

________________________________________

4. Tìm $x$ và $y$

• Với $u = 1$:

$\dfrac{x}{x+1}=1\Rightarrow x=x+1\Rightarrow 0=1\text{ (Vô lý)}$

• Vì phương trình $\dfrac{x}{x+1} = 1$ không có nghiệm, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Kết luận: Hệ phương trình vô nghiệm.

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình đã cho:

$$
\begin{cases} 
\dfrac{2x}{x + 1} + \dfrac{y}{y - 1} = 3 \ 
\dfrac{x}{x + 1} - \dfrac{3y}{y - 1} = -2 
\end{cases}
$$

Đầu tiên, ta đặt $ a = \dfrac{x}{x + 1} $ và $ b = \dfrac{y}{y - 1} $. Khi đó, ta có:

$$
\begin{cases} 
2a + b = 3 \ 
a - 3b = -2 
\end{cases}
$$

Giải phương trình đầu tiên $ 2a + b = 3 $:

Từ đó, ta có:

$$
b = 3 - 2a
$$

Thay vào phương trình thứ hai:

$$
a - 3(3 - 2a) = -2
$$

Mở ngoặc và sắp xếp lại:

$$
a - 9 + 6a = -2
$$
$$
7a - 9 = -2
$$
$$
7a = 7
$$
$$
a = 1
$$

Thay giá trị của $ a $ vào phương trình tìm $ b $:

$$
b = 3 - 2(1) = 1
$$

Vậy ta có $ a = 1 $ và $ b = 1 $.

Bây giờ, chúng ta quay lại để tìm giá trị của $ x $ và $ y $.

Vì $ a = \dfrac{x}{x + 1} = 1 $:

$$
\dfrac{x}{x + 1} = 1 \implies x = x + 1 \implies 0 = 1 \quad \text{(Không có nghiệm)}
$$

Vì vậy, chúng ta không thể tìm được giá trị của $ x $ từ $ a = 1 $.

Tiếp theo, từ $ b = \dfrac{y}{y - 1} = 1 $:

$$
\dfrac{y}{y - 1} = 1 \implies y = y - 1 \implies 0 = -1 \quad \text{(Không có nghiệm)}
$$

Từ đây ta có thể kết luận rằng hệ phương trình này không có nghiệm.

Vậy, kết quả cuối cùng là:

**Hệ phương trình không có nghiệm.**

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

$$\begin{cases}\frac{2x}{x+1}+\frac{y}{y-1}=3 \ \frac{x}{x+1}-\frac{3y}{y-1}=-2\end{cases}\left(x e-1;y e1 ight)$$

Đặt $$\begin{cases}u=\frac{x}{x+1} \ v=\frac{y}{y-1}\end{cases}$$, ta có:

$$\begin{cases}2u+v=3 \ u-3v=-2\end{cases}$$

$$\begin{cases}2u+v=3 \ 2u-6v=-4\end{cases}$$

$$\begin{cases}7v=7 \ u=-2+3v\end{cases}$$

$$\begin{cases}v=1 \ u=1\end{cases}$$

Suy ra: $$\begin{cases}\frac{x}{x+1}=1 \ \frac{y}{y-1}=1\end{cases}$$

$$\begin{cases}x=x+1 \ y=y-1\end{cases}$$

$$\begin{cases}0=1 \ 0=-1\end{cases}\left(vôlí ight)$$

Vậy hệ phương trình trên vô nghiệm.

Lê Minh Dũng · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Để hệ phương trình đơn giản hơn, ta đặt:

$u = \dfrac{x}{x+1}$

$v = \dfrac{y}{y-1}$

Khi đó, hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases}2u+v=3\quad (1)\ u-3v=-2\quad (2)\end{cases}$

Từ phương trình $(1)$, ta có $v = 3 - 2u$. Thế vào phương trình $(2)$:

$u-3(3-2u)=-2$

$u-9+6u=-2$

$7u=7\Rightarrow \mathbf{u=1}$

Thay $u = 1$ vào $v = 3 - 2u$, ta được:

$v=3-2(1)\Rightarrow \mathbf{v=1}$

Với $u = 1$:

$\dfrac{x}{x+1}=1\Rightarrow x=x+1\Rightarrow 0=1\text{\ (Vô\ lý)}$

Vì phương trình ẩn $x$ vô nghiệm, nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

4, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{2x}{x + 1} + \dfrac{y}{y - 1} = 3 \\ \dfrac{x}{x + 1} - \dfrac{3y}{y - 1} = -2 \end{cases}$