4, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} \dfrac{2}{x - 2} + \dfrac{3}{y - 1} = 5 \ \dfrac{4}{x - 2} - \dfrac{1}{y - 1} = 3 \end{cases}$

Question

Huycindy · Accepted Answer

Điều kiện xác định: $ x 
eq 2 ;y 
eq 1 $
Đặt $u = \dfrac{1}{x - 2}$, $v = \dfrac{1}{y - 1}$
Hệ phương trình trở thành:
$\begin{cases} 2u + 3v = 5 \ 4u - v = 3 \end{cases}$
$\begin{cases} 4u + 6v = 10 \ 4u - v = 3 \end{cases}$
$\begin{cases} 7v = 7 \ 4u - v = 3 \end{cases}$
$\begin{cases} v = 1 \ 4u - 1 = 3 \end{cases}$
$\begin{cases} v = 1 \ 4u = 4 \end{cases}$
$\begin{cases} u = 1 \ v = 1 \end{cases}$
Suy ra: $\begin{cases} \dfrac{1}{x - 2} = 1 \ \dfrac{1}{y - 1} = 1 \end{cases}$
$\begin{cases} x - 2 = 1 \ y - 1 = 1 \end{cases}$
$\begin{cases} x = 3 \ y = 2 \end{cases}$ (Thỏa mãn điều kiện)
Nghiệm hệ phương trình: $(x; y) = (3; 2)$

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình đã cho, ta đặt $ a = \dfrac{1}{x - 2} $ và $ b = \dfrac{1}{y - 1} $. Khi đó, hệ phương trình trở thành:

$$
\begin{cases}
2a + 3b = 5 \quad (1) \
4a - b = 3 \quad (2)
\end{cases}
$$

Ta sẽ giải hệ phương trình này.

Từ phương trình (2), ta có:

$$
b = 4a - 3 \quad (3)
$$

Thay (3) vào (1):

$$
2a + 3(4a - 3) = 5
$$

Giải phương trình:

$$
2a + 12a - 9 = 5 \
14a - 9 = 5 \
14a = 14 \
a = 1
$$

Thay giá trị của $ a $ vào (3) để tìm $ b $:

$$
b = 4(1) - 3 = 1
$$

Vậy ta có $ a = 1 $ và $ b = 1 $.

Quay lại với các biến ban đầu:

$$
a = \dfrac{1}{x - 2} \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{x - 2} \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3
$$

$$
b = \dfrac{1}{y - 1} \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{y - 1} \Rightarrow y - 1 = 1 \Rightarrow y = 2
$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

$$
(x, y) = (3, 2)
$$

**Đáp án:** $ x = 3, y = 2 $

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Hệ phương trình:

$\begin{cases}\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{3}{y-1}=5\ \dfrac{4}{x-2}-\dfrac{1}{y-1}=3\end{cases}$

Điều kiện xác định: $x \neq 2$ và $y \neq 1$.

________________________________________

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $u = \dfrac{1}{x-2}$ và $v = \dfrac{1}{y-1}$. Hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases}2u+3v=5\quad (1)\ 4u-v=3\quad (2)\end{cases}$

Bước 2: Giải hệ phương trình theo $u$ và $v$

Từ phương trình $(2)$, ta có: $v = 4u - 3$. Thế vào phương trình $(1)$:

$2u+3(4u-3)=5$

$2u+12u-9=5$

$14u=14\implies \mathbf{u=1}$

Thay $u = 1$ vào $v = 4u - 3$:

$v=4(1)-3\implies \mathbf{v=1}$

Bước 3: Tìm $x$ và $y$

Trả lại ẩn ban đầu:

1. $\dfrac{1}{x-2} = u = 1 \implies x - 2 = 1 \implies \mathbf{x = 3}$ (thỏa mãn ĐK)

2. $\dfrac{1}{y-1} = v = 1 \implies y - 1 = 1 \implies \mathbf{y = 2}$ (thỏa mãn ĐK)

________________________________________

Kết luận:

Nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (3; 2)$.

mdung · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

đkxđ của pt trên:

$x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$y - 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$

Đặt ẩn phụ: $a = \dfrac{1}{x-2}$ và $b = \dfrac{1}{y-1}$

Suy ra ta đc hệ

$\begin{cases}2a+3b=5\ 4a-b=3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2a+3b=5\ 12a-3b=9\end{cases}$

Cộng 2 pt

$14a=14\Rightarrow a=1$

Thay $a = 1$ vào pt $4a - b = 3$:

$4(1)-b=3\Rightarrow b=1$

Với $a = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{x-2} = 1 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$ (tm đkxđ)

Với $b = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{y-1} = 1 \Rightarrow y - 1 = 1 \Rightarrow y = 2$ (tm đkxđ)

Giọt Nước · Answer

4, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} \dfrac{2}{x - 2} + \dfrac{3}{y - 1} = 5 \\ \dfrac{4}{x - 2} - \dfrac{1}{y - 1} = 3 \end{cases}$