9, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} x^2 + 2y^2 - 3xy - 2x + 4y = 0 \ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$

Question

Ninh Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

$$\begin{cases}x^2+2y^2-3xy-2x+4y=0 \ x^2+y^2=5\end{cases}$$

$$\begin{cases}\left(x-2y ight)\left(x-y-2 ight)=0 \ x^2+y^2=5\end{cases}$$

$$\left[\begin{matrix}\begin{cases}x-2y=0 \ x^2+y^2=5\end{cases} \ \begin{cases}x-y-2=0 \ x^2+y^2=5\end{cases}\end{matrix} ight.$$

$$\left[\begin{matrix}\begin{cases}x=2y \ \left(2y ight)^2+y^2=5\end{cases} \ \begin{cases}x=y+2 \ \left(y+2 ight)^2+y^2=5\end{cases}\end{matrix} ight.$$

$$\left[\begin{matrix}\begin{cases}x=2y \ 5y^2=5\end{cases} \ \begin{cases}x=y+2 \ 2y^2+4y-1=0\end{cases}\end{matrix} ight.$$

$$\left[\begin{matrix}\begin{cases}x=2y \ \left[\begin{matrix}y=1 \ y=-1\end{matrix} ight.\end{cases} \ \begin{cases}x=y+2 \ \left[\begin{matrix}y=\frac{-2+\sqrt{6}}{2} \ y=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}\end{matrix} ight.\end{cases}\end{matrix} ight.$$

$$\left[\begin{matrix}\begin{cases}x=2 \ y=1\end{cases} \ \begin{cases}x=-2 \ y=-1\end{cases} \ \begin{cases}x=\frac{2+\sqrt{6}}{2} \ y=\frac{-2+\sqrt{6}}{2}\end{cases} \ \begin{cases}x=\frac{2-\sqrt{6}}{2} \ y=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}\end{cases}\end{matrix} ight.$$

Vậy $$\left(x;y ight)\in\left\lbrace\left(2;1 ight),\left(-2;-1 ight),\left(\frac{2+\sqrt{6}}{2};\frac{-2+\sqrt{6}}{2} ight),\left(\frac{2-\sqrt{6}}{2};\frac{-2-\sqrt{6}}{2} ight) ight brace$$.

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình:

$$
\begin{cases} 
x^2 + 2y^2 - 3xy - 2x + 4y = 0 \ 
x^2 + y^2 = 5 
\end{cases}
$$

ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Sử dụng phương trình thứ hai**: Từ phương trình thứ hai, ta có thể diễn tả $x^2$ bằng $y$:
   $$
   x^2 = 5 - y^2
   $$

2. **Thay vào phương trình đầu tiên**: Thay $x^2$ từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất:
   $$
   (5 - y^2) + 2y^2 - 3xy - 2x + 4y = 0
   $$
   Đơn giản hóa phương trình này:
   $$
   5 + y^2 - 3xy - 2x + 4y = 0
   $$
   hay:
   $$
   y^2 - 3xy + 4y - 2x + 5 = 0
   $$

3. **Xem đây như một phương trình bậc hai theo $y$**:
   Ta có phương trình:
   $$
   y^2 - (3x - 4)y + (5 - 2x) = 0
   $$

4. **Tính delta của phương trình bậc hai**:
   Để phương trình này có nghiệm thực, delta phải không âm:
   $$
   \Delta = (3x - 4)^2 - 4(1)(5 - 2x) \geq 0
   $$
   Tính delta:
   $$
   \Delta = (3x - 4)^2 - 20 + 8x = 9x^2 - 24x + 16 - 20 + 8x = 9x^2 - 16x - 4
   $$

5. **Giải bất phương trình delta**:
   Tìm nghiệm của phương trình $9x^2 - 16x - 4 = 0$ bằng công thức nghiệm:
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 144}}{18} = \frac{16 \pm \sqrt{400}}{18} = \frac{16 \pm 20}{18}
   $$
   Giải ra:
   $$
   x_1 = \frac{36}{18} = 2, \quad x_2 = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}
   $$

6. **Thay giá trị $x$ vào phương trình để tìm $y$**:
   - Với $x = 2$:
     $$
     x^2 + y^2 = 5 \implies 4 + y^2 = 5 \implies y^2 = 1 \implies y = 1 \text{ hoặc } y = -1
     $$
   - Với $x = -\frac{2}{9}$:
     $$
     x^2 + y^2 = 5 \implies \left(-\frac{2}{9}\right)^2 + y^2 = 5 \implies \frac{4}{81} + y^2 = 5 \implies y^2 = 5 - \frac{4}{81} = \frac{405 - 4}{81} = \frac{401}{81}
     $$
     $$
     y = \pm \sqrt{\frac{401}{81}} = \pm \frac{\sqrt{401}}{9}
     $$

7. **Kết luận nghiệm**:
   Các nghiệm của hệ phương trình là:
   $$
   (2, 1), (2, -1), \left(-\frac{2}{9}, \frac{\sqrt{401}}{9}\right), \left(-\frac{2}{9}, -\frac{\sqrt{401}}{9}\right)
   $$

Vậy các nghiệm của hệ phương trình là:
$$
\begin{cases}
(2, 1) \
(2, -1) \
\left(-\frac{2}{9}, \frac{\sqrt{401}}{9}\right) \
\left(-\frac{2}{9}, -\frac{\sqrt{401}}{9}\right)
\end{cases}
$$

❄ motsach _ thao ❄ ²ᵏ ⁀ h i l a r y [ Boy handsome · Answer

9, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} x^2 + 2y^2 - 3xy - 2x + 4y = 0 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$