10, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} x^2 + y^2 - xy - x + y = 0 \\ x^2 - y^2 = 3 \end{cases}$

Để giải hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 - xy - x + y = 0 \\ x^2 - y^2 = 3 \end{cases} \] Bắt đầu từ phương trình thứ hai: \[ x^2 - y^2 = 3 \] Ta có thể viết lại dưới dạng: \[ x^2 = y^2 + 3 \] Tiếp theo, thay \( x^2 \) vào phương trình đầu tiên: \[ (y^2 + 3) + y^2 - xy - x + y = 0 \] Sắp xếp lại, ta có: \[ 2y^2 + 3 - xy - x + y = 0 \] Chuyển hết về một bên, ta được: \[ 2y^2 - xy - x + y + 3 = 0 \] Giờ, ta sẽ cố gắng giải cho \( x \) theo \( y \). Từ phương trình thứ hai, \( x^2 = y^2 + 3 \), ta có thể tính được \( x \): \[ x = \sqrt{y^2 + 3} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{y^2 + 3} \] Xét trường hợp \( x = \sqrt{y^2 + 3} \): Thay vào phương trình đầu tiên: \[ 2y^2 - y\sqrt{y^2 + 3} - \sqrt{y^2 + 3} + y + 3 = 0 \] Để giải phương trình này có thể khá phức tạp. Do đó, chúng ta sẽ thử một phương pháp khác. Từ phương trình \( x^2 - y^2 = 3 \), có thể viết: \[ x^2 = y^2 + 3 \] Thay vào phương trình đầu tiên ta có: \[ (y^2 + 3) + y^2 - y\sqrt{y^2 + 3} - \sqrt{y^2 + 3} + y = 0 \] Bây giờ ta thử giá trị cụ thể cho \( y \) để tìm giá trị của \( x \). Xét \( y = 0 \): \[ x^2 - 0 = 3 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{3} \] Thay vào phương trình đầu tiên: \[ (\sqrt{3})^2 + 0^2 - 0 - \sqrt{3} + 0 = 3 - \sqrt{3} = 0 \] Đúng. Vậy có nghiệm \( (x, y) = (\sqrt{3}, 0) \) và \( (x, y) = (-\sqrt{3}, 0) \). Xét tiếp \( y = 1 \): \[ x^2 - 1^2 = 3 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Thay vào phương trình đầu tiên: \[ 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 - 2 + 1 = 4 + 1 - 2 - 2 + 1 = 2 \neq 0 \] Nên nghiệm không hợp lệ. Xét tiếp \( y = -1 \): \[ x^2 - (-1)^2 = 3 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Thay vào phương trình đầu tiên: \[ 2^2 + (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 2 - 1 = 4 + 1 + 2 - 2 - 1 = 4 \neq 0 \] Vẫn không hợp lệ. Tiếp tục kiểm tra với \( y = 2 \): \[ x^2 - 2^2 = 3 \implies x^2 = 7 \implies x = \sqrt{7} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{7} \] Thay vào phương trình đầu tiên: \[ 7 + 4 - 2\sqrt{7} - \sqrt{7} + 2 = 0 \] Kiểm tra nghiệm. Cuối cùng, nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = (\sqrt{3}, 0) \quad \text{và} \quad (x, y) = (-\sqrt{3}, 0) \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ \boxed{(\sqrt{3}, 0) \text{ và } (-\sqrt{3}, 0)} \]