5, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} x^2 + y^2 + xy = 7 \ x + y + xy = 5 \end{cases}$

Question

Ninh Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

$$\begin{cases}x^2+y^2+xy=7 \ x+y+xy=5\end{cases}$$

$$\begin{cases}\left(x+y ight)^2-xy=7 \ \left(x+y ight)+xy=5\end{cases}$$

$$\begin{cases}\left(x+y ight)^2+\left(x+y ight)-5=7 \ xy=5-\left(x+y ight)\end{cases}$$

$$\begin{cases}\left(x+y ight)^2+\left(x+y ight)-12=0 \ xy=5-\left(x+y ight)\end{cases}$$

$$\begin{cases}\left[\begin{matrix}x+y=3 \ x+y=-4\end{matrix} ight. \ xy=5-\left(x+y ight)\end{cases}$$

$$\left[\begin{matrix}\begin{cases}x+y=3 \ xy=2\end{cases} \ \begin{cases}x+y=-4 \ xy=9\end{cases}\end{matrix} ight.$$

$$\left[\begin{matrix}\begin{cases}x\left(3-x ight)=2 \ y=3-x\end{cases} \ \begin{cases}x\left(-4-x ight)=9 \ y=-4-x\end{cases}\end{matrix} ight.$$

$$\left[\begin{matrix}\begin{cases}x^2-3x+2=0 \ y=3-x\end{cases} \ \begin{cases}-x^2-4x-9=0\left(vônghiệm ight) \ y=-4-x\end{cases}\end{matrix} ight.$$

$$\begin{cases}\left[\begin{matrix}x=1 \ x=2\end{matrix} ight. \ y=3-x\end{cases}$$

$$\left[\begin{matrix}\begin{cases}x=1 \ y=2\end{cases} \ \begin{cases}x=2 \ y=1\end{cases}\end{matrix} ight.$$

Vậy $$\left(x;y ight)\in\left\lbrace\left(1;2 ight),\left(2;1 ight) ight brace$$.

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình:

$$
\begin{cases} 
x^2 + y^2 + xy = 7 \ 
x + y + xy = 5 
\end{cases}
$$

Chúng ta sẽ biến đổi phương trình thứ hai để tìm $ xy $.

Từ phương trình thứ hai, ta có:
$$
xy = 5 - (x + y)
$$

Gọi $ s = x + y $ và $ p = xy $. Khi đó, ta có:
$$
p = 5 - s
$$

Bây giờ, chúng ta sẽ thay $ p $ vào phương trình thứ nhất. Đầu tiên, ta cần biểu diễn $ x^2 + y^2 $ bằng $ s $ và $ p $:

$$
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = s^2 - 2p
$$

Thay $ p $ vào, ta có:
$$
x^2 + y^2 = s^2 - 2(5 - s) = s^2 - 10 + 2s = s^2 + 2s - 10
$$

Thay vào phương trình thứ nhất:
$$
s^2 + 2s - 10 + p = 7
$$
Thay $ p $ vào:
$$
s^2 + 2s - 10 + (5 - s) = 7
$$
Giải phương trình này:
$$
s^2 + 2s - 10 + 5 - s = 7
$$
$$
s^2 + s - 12 = 0
$$

Giải phương trình bậc hai:
$$
s = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}
$$
Vậy:
$$
s_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{và} \quad s_2 = \frac{-8}{2} = -4
$$

Chọn $ s = 3 $ (vì $ s = x + y $ không thể âm). Từ đó ta có:
$$
p = 5 - s = 5 - 3 = 2
$$

Vậy $ x + y = 3 $ và $ xy = 2 $. Hệ này có thể viết lại thành phương trình bậc hai:
$$
t^2 - st + p = 0 \implies t^2 - 3t + 2 = 0
$$

Giải phương trình này:
$$
t = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}
$$
Vậy:
$$
t_1 = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{và} \quad t_2 = \frac{2}{2} = 1
$$

Do đó, chúng ta có nghiệm:
$$
x = 2, \quad y = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 1, \quad y = 2
$$

Cuối cùng, nghiệm của hệ phương trình là:
$$
(x, y) = (2, 1) \quad \text{hoặc} \quad (1, 2)
$$

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Hệ phương trình:

$\begin{cases}x^{2}+y^{2}+xy=7\quad (1)\ x+y+xy=5\quad (2)\end{cases}$

Bước 1: Biến đổi hệ phương trình

Ta có $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$. Thay vào phương trình (1):

$(x+y)^{2}-xy=7$

Đặt $S = x + y$ và $P = xy$ (với điều kiện $S^2 \ge 4P$). Hệ trở thành:

$\begin{cases}S^{2}-P=7\quad (3)\ S+P=5\quad (4)\end{cases}$

Bước 2: Giải hệ theo S và P

Cộng (3) và (4) theo vế:

$S^{2}+S=12\iff S^{2}+S-12=0$

$\iff (S+4)(S-3)=0$

• Trường hợp 1: $S = 3$

Thay vào (4): $3 + P = 5 \implies P = 2$.

Kiểm tra điều kiện: $S^2 = 9$, $4P = 8$. Vì $9 \ge 8$ nên thỏa mãn.

• Trường hợp 2: $S = -4$

Thay vào (4): $-4 + P = 5 \implies P = 9$.

Kiểm tra điều kiện: $S^2 = 16$, $4P = 36$. Vì $16 < 36$ nên loại.

Bước 3: Tìm x và y

Với $S = 3$ và $P = 2$, $x$ và $y$ là nghiệm của phương trình:

$t^{2}-3t+2=0$

$\iff (t-1)(t-2)=0$

$\implies t=1\text{ hoặc }t=2$

Vậy hệ phương trình có các nghiệm $(x; y)$ là:

$(1; 2)$ và $(2; 1)$

Lïnhッßơ︵²ᵏ⁸ · Answer

5, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} x^2 + y^2 + xy = 7 \\ x + y + xy = 5 \end{cases}$