« CÂU HỎI
Toán học · Lớp $9$
$...$ Tìm x, biết: $x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}$

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Để tìm giá trị của $x$ từ biểu thức vô hạn:

$x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\dots }}}}$

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Thiết lập phương trình

Bình phương hai vế của phương trình:

$x^{2}=5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\dots }}}$

Chuyển 5 sang vế trái:

$x^{2}-5=\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\dots }}}$

Bước 2: Sử dụng tính tuần hoàn

Tiếp tục bình phương hai vế một lần nữa:

$(x^{2}-5)^{2}=13+\sqrt{5+\sqrt{13+\dots }}$

Nhận thấy rằng biểu thức $\sqrt{5+\sqrt{13+\dots }}$ chính là giá trị $x$ ban đầu. Do đó:

$(x^{2}-5)^{2}=13+x$

Bước 3: Giải phương trình

Khai triển và thu gọn:

$x^{4}-10x^{2}+25=13+x$

$x^{4}-10x^{2}-x+12=0$

Phân tích đa thức thành nhân tử (nhận thấy $x = 3$ là một nghiệm vì $81 - 90 - 3 + 12 = 0$):

$(x-3)(x^{3}+3x^{2}-x-4)=0$

Xét $x = 3$:

Thay vào biểu thức gốc: $3^2 - 5 = \sqrt{13 + 3} \Rightarrow 4 = \sqrt{16}$ (Đúng).

Vì $x$ là căn bậc hai của một số dương nên $x > 0$. Kiểm tra các nghiệm khác của phương trình bậc ba, ta thấy chỉ có $x = 3$ là giá trị phù hợp và đẹp nhất cho bài toán này.

Kết luận: $x = 3$.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta sẽ đặt $ y = \sqrt{5 + \sqrt{13 + \sqrt{5 + \sqrt{13 + \ldots}}}} $.

Như vậy, ta có thể viết lại phương trình như sau:

$$
y = \sqrt{5 + \sqrt{13 + y}}
$$

Tiến hành bình phương hai bên:

$$
y^2 = 5 + \sqrt{13 + y}
$$

Tiếp theo, ta trừ 5 từ cả hai bên:

$$
y^2 - 5 = \sqrt{13 + y}
$$

Bình phương cả hai bên lần nữa để loại bỏ dấu căn:

$$
(y^2 - 5)^2 = 13 + y
$$

Mở rộng vế trái:

$$
y^4 - 10y^2 + 25 = 13 + y
$$

Đưa tất cả các hạng tử về một phía:

$$
y^4 - 10y^2 - y + 25 - 13 = 0
$$

Rút gọn lại:

$$
y^4 - 10y^2 - y + 12 = 0
$$

Giải phương trình bậc bốn này có thể khó khăn, nhưng ta có thể thử tìm nghiệm bằng phương pháp thử. Ta thử với một số giá trị của $ y $:

1. Nếu $ y = 4 $:

$$
4^4 - 10(4^2) - 4 + 12 = 256 - 160 - 4 + 12 = 104 \quad (\text{sai})
$$

2. Nếu $ y = 3 $:

$$
3^4 - 10(3^2) - 3 + 12 = 81 - 90 - 3 + 12 = 0 \quad (\text{đúng})
$$

Vậy $ y = 3 $ là một nghiệm của phương trình. Như vậy:

$$
x = \sqrt{5 + \sqrt{13 + \sqrt{5 + \sqrt{13 + \ldots}}}} = 3
$$

Do đó, nghiệm cần tìm là:

$$
\boxed{3}
$$

Anh Trí · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Điều kiện: $x \ge \sqrt{5}$

$x = \sqrt{5 + \sqrt{13 + \sqrt{5 + \sqrt{13 + \dots}}}}$

$\Rightarrow x = \sqrt{5 + \sqrt{13 + x}}$

$\Rightarrow x^2 = 5 + \sqrt{13 + x}$

$\Rightarrow x^2 - 5 = \sqrt{13 + x}$

$\Rightarrow (x^2 - 5)^2 = 13 + x$

$\Rightarrow x^4 - 10x^2 + 25 = 13 + x$

$\Rightarrow x^4 - 10x^2 - x + 12 = 0$

$\Rightarrow (x - 3)(x^3 + 3x^2 - x - 4) = 0$

Vì $x \ge \sqrt{5}$ nên $x^3 + 3x^2 - x - 4 > 0$

$\Rightarrow x - 3 = 0$

$\Rightarrow x = 3$ (thỏa mãn)

Vậy $x = 3$.

« CÂU HỎI Toán học · Lớp $9$ $...$