8, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} x^2y + xy^2 = 6 \\ x^3 + y^3 = 9 \end{cases}$

Để giải hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} x^2y + xy^2 = 6 \\ x^3 + y^3 = 9 \end{cases} \] Ta có thể biến đổi phương trình đầu tiên: Phương trình đầu tiên có thể viết lại như sau: \[ xy(x + y) = 6 \] Gọi \( s = x + y \) và \( p = xy \), ta có: \[ p \cdot s = 6 \quad (1) \] Phương trình thứ hai có thể sử dụng công thức tổng quát cho tổng ba số: \[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)((x + y)^2 - 3xy) = s(s^2 - 3p) \] Vì vậy, phương trình thứ hai trở thành: \[ s(s^2 - 3p) = 9 \quad (2) \] Bây giờ ta có một hệ phương trình mới với hai phương trình (1) và (2): 1. \( ps = 6 \) 2. \( s(s^2 - 3p) = 9 \) Từ (1), ta có thể biểu diễn \( p \): \[ p = \frac{6}{s} \] Thay giá trị của \( p \) vào (2): \[ s\left(s^2 - 3\cdot\frac{6}{s}\right) = 9 \] Rút gọn phương trình: \[ s\left(s^2 - \frac{18}{s}\right) = 9 \] \[ s^3 - 18 = 9 \] \[ s^3 = 27 \] \[ s = 3 \] Thay \( s = 3 \) vào phương trình (1) để tìm \( p \): \[ p \cdot 3 = 6 \quad \Rightarrow \quad p = 2 \] Bây giờ, ta có \( s = 3 \) và \( p = 2 \). Ta cần tìm \( x \) và \( y \). Ta có hệ phương trình: \[ x + y = 3 \] \[ xy = 2 \] Giải hệ phương trình này bằng cách sử dụng phương trình bậc hai: \[ t^2 - st + p = 0 \quad \Rightarrow \quad t^2 - 3t + 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 \] Công thức nghiệm cho phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{và} \quad t_2 = \frac{2}{2} = 1 \] Vậy \( x \) và \( y \) là: \[ x = 2, \quad y = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 1, \quad y = 2 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = (2, 1) \quad \text{hoặc} \quad (1, 2) \] **Đáp án:** \((x, y) = (2, 1) \text{ hoặc } (1, 2)\)