6, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} x + y - \sqrt{xy} = 3 \\ \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} = 4 \end{cases}$

Để giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y - \sqrt{xy} = 3 \\ \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} = 4 \end{cases} \] **Bước 1:** Giải phương trình thứ hai. Từ phương trình thứ hai: \[ \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} = 4 \] Ta đặt \( a = \sqrt{x + 1} \) và \( b = \sqrt{y + 1} \). Khi đó, ta có: \[ a + b = 4 \] => \( b = 4 - a \). Bây giờ, chúng ta sẽ bình phương cả hai vế để tìm \(x\) và \(y\): \[ a^2 = x + 1 \quad \text{và} \quad b^2 = y + 1 \] => \( x = a^2 - 1 \) và \( y = b^2 - 1 \). Thay \( b \) vào \( y \): \[ y = (4 - a)^2 - 1 = 16 - 8a + a^2 - 1 = a^2 - 8a + 15 \] **Bước 2:** Thay \( x \) và \( y \) vào phương trình thứ nhất. Thay \( x \) và \( y \) vào phương trình thứ nhất: \[ x + y - \sqrt{xy} = 3 \] => \[ (a^2 - 1) + (a^2 - 8a + 15) - \sqrt{(a^2 - 1)(a^2 - 8a + 15)} = 3 \] Kết hợp các hạng tử: \[ 2a^2 - 8a + 14 - \sqrt{(a^2 - 1)(a^2 - 8a + 15)} = 3 \] => \[ 2a^2 - 8a + 11 - \sqrt{(a^2 - 1)(a^2 - 8a + 15)} = 0 \] Tìm \( \sqrt{(a^2 - 1)(a^2 - 8a + 15)} \) để giải phương trình. **Bước 3:** Giải tiếp cho \( a \) bằng cách tính \( x \) và \( y \). Từ phương trình \( a + b = 4 \): Bình phương phương trình: \[ (a + b)^2 = 16 \Rightarrow a^2 + 2ab + b^2 = 16 \] Ta có \( a^2 + b^2 = (a^2 - 1) + (b^2 - 1) + 2 = 2a^2 - 8a + 16 \). **Bước 4:** Giải \( a \) và \( b \). Từ \( x + y = 3 + \sqrt{xy} \): Khi có \( a = 1 \) hoặc \( a = 3 \): 1. Nếu \( a = 1 \): \( b = 3 \): Ta tính \( x = 0, y = 8 \). 2. Nếu \( a = 3 \): \( b = 1 \): Ta tính \( x = 8, y = 0 \). Cuối cùng, các nghiệm cho hệ phương trình là: \[ (x, y) = (0, 8) \quad \text{hoặc} \quad (8, 0) \] **Kết luận:** Hệ phương trình có nghiệm là \( (0, 8) \) và \( (8, 0) \).