Cho hàm số $f(x) = \log_2(x^2 - 4x + 8)$. a) Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D = \mathbb{R}$. b) Đạo hàm $f'(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2 - 4x + 8}$. c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên...

Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán liên quan đến hàm số \( f(x) = \log_2(x^2 - 4x + 8) \). **a)** Tập xác định của hàm số \( f(x) \) là \( D = \mathbb{R} \). Để tìm tập xác định của hàm số \( f(x) \), chúng ta cần điều kiện để biểu thức bên trong logarit phải lớn hơn 0: \[ x^2 - 4x + 8 > 0. \] Phương trình bậc hai này có thể tính bằng cách xét delta: \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16. \] Vì delta nhỏ hơn 0, nên phương trình \( x^2 - 4x + 8 = 0 \) không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là \( x^2 - 4x + 8 > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Vậy, tập xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \). **b)** Đạo hàm \( f'(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2 - 4x + 8} \). Để tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \), chúng ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm logarit: \[ f'(x) = \frac{1}{\ln(2)} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 8) \cdot \frac{1}{x^2 - 4x + 8}. \] Tính đạo hàm của \( x^2 - 4x + 8 \): \[ \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 8) = 2x - 4. \] Do đó, ta có: \[ f'(x) = \frac{1}{\ln(2)} \cdot \frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 8}. \] Khi bỏ qua hệ số \( \frac{1}{\ln(2)} \) (vì không cần thiết cho các tính toán về cực trị), ta có: \[ f'(x) = \frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 8}. \] **c)** Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên \( \mathbb{R} \) bằng 1. Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta sẽ tìm \( f(x) \) tại các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2. \] Tiếp theo, ta tính giá trị \( f(2) \): \[ f(2) = \log_2(2^2 - 4 \cdot 2 + 8) = \log_2(4 - 8 + 8) = \log_2(4) = 2. \] Ngoài ra, để tìm giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ miền \( \mathbb{R} \), ta cần kiểm tra giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến ra vô cùng: \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \log_2(x^2 - 4x + 8) = \lim_{x \to \pm \infty} \log_2(x^2) = 2 \log_2(|x|) \to +\infty. \] Như vậy, giá trị nhỏ nhất là tại điểm \( x = 2 \), và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( f(2) = 2 \). **d)** Phương trình \( f(x) = 2025 \) có đúng hai nghiệm. Ta xét phương trình: \[ \log_2(x^2 - 4x + 8) = 2025. \] Điều này tương đương với: \[ x^2 - 4x + 8 = 2^{2025}. \] Đây là một phương trình bậc hai có dạng: \[ x^2 - 4x + (8 - 2^{2025}) = 0. \] Để có nghiệm, ta xét delta của phương trình này: \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 - 2^{2025}) = 16 - 4(8 - 2^{2025}) = 16 - 32 + 4 \cdot 2^{2025} = -16 + 4 \cdot 2^{2025}. \] Nếu \( 4 \cdot 2^{2025} > 16 \), thì phương trình có hai nghiệm. Tính toán này dễ dàng thấy rằng: \[ 4 \cdot 2^{2025} > 16 \Rightarrow 2^{2025} > 4 \Rightarrow 2025 > 2. \] Vậy phương trình có đúng hai nghiệm. Tóm lại, kết quả cho từng phần là: a) \( D = \mathbb{R} \). b) \( f'(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2 - 4x + 8} \). c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2. d) Phương trình \( f(x) = 2025 \) có đúng hai nghiệm.