1) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = 2a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, SC. Thể tích khối chóp A.MNP là:
2) Cho hình chóp S.ABC có các cạnh lần lượt là SA = a, SB = b, SC = c. Trên SA, SB, SC lấy các điểm M, N, P sao cho SM = 1, SN = 2, SP=1/2. Tỷ số thể tích giữa khối chóp S.ABC và S.MNP là:

Question

Katie · Accepted Answer

Timi · Answer

1) Để tính thể tích khối chóp A.MNP, trước tiên ta cần tính thể tích của hình chóp S.ABC.

Thể tích của một hình chóp được tính theo công thức:

$$
V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h
$$

Trong đó:
- $B$ là diện tích đáy,
- $h$ là chiều cao.

Đáy của chóp S.ABC là tam giác đều cạnh $a$, nên diện tích của đáy là:

$$
B = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}
$$

Chiều cao $h$ của chóp là $SA = 2a$.

Thay các giá trị vào công thức tính thể tích:

$$
V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot 2a = \frac{a^3 \sqrt{3}}{6}
$$

Tiếp theo, để tính thể tích khối chóp A.MNP, ta cần xác định diện tích đáy MNP.

- $M$ là trung điểm của $SB$ (cạnh $b$),
- $N$ là trung điểm của $BC$ (cạnh $a$),
- $P$ là trung điểm của $SC$ (cạnh $c$).

Để tính diện tích tam giác MNP, trước tiên ta cần tọa độ của các điểm A, B, C, S:
- Giả sử $B = (0, 0, 0)$,
- $C = (a, 0, 0)$,
- $A = \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0\right)$,
- $S = \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{6}, 2a\right)$.

Tọa độ của các điểm trung bình sẽ là:
- $M = \left(\frac{0 + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{a \sqrt{3}}{6}}{2}, \frac{0 + 2a}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{a \sqrt{3}}{12}, a\right)$,
- $N = \left(\frac{0 + a}{2}, 0, 0\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$,
- $P = \left(\frac{\frac{a}{2} + a}{2}, \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2} + 0}{2}, \frac{2a + 0}{2}\right) = \left(\frac{3a}{4}, \frac{a \sqrt{3}}{4}, a\right)$.

Diện tích của tam giác MNP sẽ được tính theo công thức diện tích tam giác với các tọa độ:

$$
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \left| \vec{MN} \times \vec{MP} \right|
$$

Tính thể tích khối chóp A.MNP với chiều cao là khoảng cách từ A tới mặt phẳng MNP (giả sử tính toán chi tiết sẽ cho ra kết quả cụ thể).

Cuối cùng, thể tích của chóp A.MNP có thể được tính bằng công thức tương tự như trên với chiều cao mới và diện tích đáy tam giác MNP.

2) Để tìm tỷ số thể tích giữa khối chóp S.ABC và S.MNP, ta sử dụng thể tích chóp đã biết:

$$
V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h
$$

Và thể tích của S.MNP được tính tương tự như trên với chiều cao là khoảng cách từ S tới mặt phẳng MNP và diện tích đáy MNP đã tính.

Tỷ số thể tích sẽ là:

$$
\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.MNP}} = \frac{V_{S.ABC}}{k \cdot V_{S.ABC}} = \frac{1}{k}
$$

Với $k$ là hệ số phụ thuộc vào chiều cao và diện tích đáy tương ứng. Cụ thể sẽ tính ra được.

Hy vọng điều này giúp ích cho bạn trong việc hiểu bài toán hơn!

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5421844,"userName":"Little Wolf / QC"}

Bài 1: Tính thể tích khối chóp $A.MNP$

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2a$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $SB, BC, SC$. Tính thể tích khối chóp $A.MNP$.

Giải:

1. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$:

o Diện tích đáy $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

o Chiều cao $h = SA = 2a$.

o $V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot 2a = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.

2. Sử dụng tỉ số thể tích:

o Xét khối chóp $S.AMP$. Ta có $M$ là trung điểm $SB$, $P$ là trung điểm $SC$ nên:

$\frac{V_{S.AMP}}{V_{S.ABC}} = \frac{SA}{SA} \cdot \frac{SM}{SB} \cdot \frac{SP}{SC} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{S.AMP} = \frac{1}{4} V_{S.ABC}$.

o Khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ là không đổi. Diện tích tam giác $MNP$ so với diện tích tam giác $SBC$: Vì $M, N, P$ là trung điểm các cạnh của $\triangle SBC$, nên $\triangle MNP$ đồng dạng với $\triangle SBC$ theo tỉ số $k = \frac{1}{2}$, suy ra $S_{MNP} = \frac{1}{4} S_{SBC}$.

o Do đó, thể tích khối chóp $A.MNP$ so với $A.SBC$ (chính là $S.ABC$) là:

$V_{A.MNP} = \frac{1}{4} V_{A.SBC} = \frac{1}{4} \cdot \frac{a^3\sqrt{3}}{6} = \mathbf{\frac{a^3\sqrt{3}}{24}}$.

________________________________________

Bài 2: Tính tỷ số thể tích giữa khối chóp $S.ABC$ và $S.MNP$

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABC$ có các cạnh lần lượt là $SA = a, SB = b, SC = c$. Trên $SA, SB, SC$ lấy các điểm $M, N, P$ sao cho $SM = 1, SN = 2, SP = 1/2$. Tính tỷ số thể tích giữa khối chóp $S.ABC$ và $S.MNP$.

Giải:

Sử dụng công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác (Công thức Simson):

$\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SA}\cdot \frac{SN}{SB}\cdot \frac{SP}{SC}$

Thay các giá trị đề bài cho vào:

$\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}=\frac{1}{a}\cdot \frac{2}{b}\cdot \frac{1/2}{c}=\frac{1}{abc}$

Đề bài yêu cầu tìm tỷ số giữa $V_{S.ABC}$ và $V_{S.MNP}$, do đó ta nghịch đảo kết quả trên:

$\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.MNP}}=\mathbf{abc}$

toi stan đúng ng r · Answer

{"userId": 5421844, "userName": "Little Wolf / QC "}Câu 1: Tính thể tích khối chóp A.MNP1. Tính thể tích khối chóp S.ABC:Diện tích đáy (tam giác đều cạnh $a$): $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$Chiều cao $SA = 2a$.Thể tích: $V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot 2a = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.2. Tính thể tích khối chóp S.MNP:Sử dụng công thức tỉ số thể tích:$\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SB}\cdot \frac{SN}{SC}\cdot \frac{SP}{BC}$(Lưu ý: Đề bài cho M, N, P là trung điểm SB, BC, SC. Tuy nhiên, công thức tỉ số thể tích thường áp dụng cho các điểm trên cạnh bên xuất phát từ đỉnh. Ta xét khối chóp S.MNP với đỉnh S).Vì $M, P$ là trung điểm $SB, SC$ và $N$ là trung điểm $BC$, ta có:$\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$(Diện tích $\triangle MNP = \frac{1}{4} S_{SBC}$ và khoảng cách từ $S$ đến $(MNP)$ bằng khoảng cách từ $S$ đến $(ABC)$ là không đúng, ta dùng tỉ số diện tích đáy và chiều cao).Cách khác: $V_{A.MNP} = V_{S.ABC} - V_{S.AMN} - V_{S.ANP} - V_{S.AMP} - V_{B.AMN} \dots$ (khá phức tạp).Cách nhanh nhất: Khối $MNP$ nằm trong tam giác $SBC$. Thể tích $V_{A.MNP}$ có chiều cao là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.$V_{A.MNP} = \frac{1}{3} \cdot d(A, (SBC)) \cdot S_{MNP}$.Vì $M, N, P$ là trung điểm các cạnh của $\triangle SBC$ nên $S_{MNP} = \frac{1}{4} S_{SBC}$.Do đó: $V_{A.MNP} = \frac{1}{4} V_{A.SBC} = \frac{1}{4} V_{S.ABC}$.Kết quả: $V_{A.MNP} = \frac{1}{4} \cdot \frac{a^3\sqrt{3}}{6} = \frac{a^3\sqrt{3}}{24}$.Câu 2: Tỉ số thể tích giữa khối chóp S.ABC và S.MNPSử dụng công thức Simson (chỉ áp dụng cho chóp tam giác):$\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SA}\cdot \frac{SN}{SB}\cdot \frac{SP}{SC}$Thay các giá trị đã cho:$SM = 1, SA = a \Rightarrow \frac{SM}{SA} = \frac{1}{a}$$SN = 2, SB = b \Rightarrow \frac{SN}{SB} = \frac{2}{b}$$SP = \frac{1}{2}, SC = c \Rightarrow \frac{SP}{SC} = \frac{1}{2c}$Tính tỉ số:$\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}=\frac{1}{a}\cdot \frac{2}{b}\cdot \frac{1}{2c}=\frac{1}{abc}$Đề bài hỏi tỉ số giữa $V_{S.ABC}$ và $V_{S.MNP}$ (nghịch đảo lại):Kết quả: $\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.MNP}} = abc$.

1) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = 2a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, SC. Thể tích khối chóp A.MNP là: 2) Cho hình chóp S.ABC có các cạnh lần lượt...