1)Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, O là giao điểm của AC và BD. Tỷ số thể tích của khối chóp O.A’B’C’D’ và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là:
2) Cho lăng trụ A BC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC. Thể tích của khối lăng trụ là (a3√3)/8, độ dài cạnh bên của khối lăng trụ là:

Question

Đinh Xuân Thiện · Accepted Answer

câu 1. Chọn 1/3.

Giải thích:

Gọi $S$ là diện tích đáy $ABCD$ và $h$ là chiều cao của hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$.

Thể tích của khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ là:

$V_{hop} = S \cdot h$

Khối chóp $O.A'B'C'D'$ có đỉnh là $O$ và đáy là hình bình hành $A'B'C'D'$.

Diện tích đáy $A'B'C'D'$ bằng diện tích mặt đáy $ABCD$ và bằng $S$.

Khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(A'B'C'D')$ chính là khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp, bằng $h$.

Thể tích của khối chóp $O.A'B'C'D'$ là:

$V_{chop} = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h$

Tỷ số thể tích của khối chóp $O.A'B'C'D'$ và khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ là:

$\frac{V_{chop}}{V_{hop}} = \frac{1}{3}$

câu 2. Chọn a.

Giải thích:

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. Theo giả thiết, $A'H$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, nên $A'H$ là chiều cao của khối lăng trụ.

Diện tích đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$:

$S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ được tính theo công thức:

$V = S_{ABC} \cdot A'H$

Thay các giá trị đã biết vào công thức:

$\frac{a^3\sqrt{3}}{8} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot A'H$

$A'H = \frac{a}{2}$

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ có $AH$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:

$AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Do $A'H$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ nên $A'H$ vuông góc với $AH$. Tam giác $A'HA$ vuông tại $H$.

Độ dài cạnh bên $AA'$ được tính theo định lý Pi-ta-go:

$AA'^2 = A'H^2 + AH^2$

$AA'^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$AA'^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}$

$AA'^2 = a^2$

$AA' = a$

Timi · Answer

1) Để tìm tỷ số thể tích của khối chóp O.A’B’C’D’ và khối hộp ABCD.A’B’C’D’, trước tiên chúng ta cần biết rằng thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể được tính bằng công thức:

$$ V_{hộp} = S_{đáy} \times h $$

Trong đó $ S_{đáy} $ là diện tích đáy (hình chữ nhật hoặc hình vuông) và $ h $ là chiều cao.

Khối chóp O.A’B’C’D’ có thể tích được tính bằng công thức:

$$ V_{chóp} = \frac{1}{3} S_{đáy} \times h_{chóp} $$

Ở đây, $ S_{đáy} $ là diện tích đáy O.A’B’C’D’ và $ h_{chóp} $ là chiều cao của chóp từ O đến đáy.

Từ hình hộp, O là giao điểm của AC và BD, do đó, O là điểm trung tâm của đáy. Tỷ số thể tích giữa khối chóp và khối hộp sẽ là:

$$ Tỷ số = \frac{V_{chóp}}{V_{hộp}} = \frac{\frac{1}{3} S_{đáy} \times h_{chóp}}{S_{đáy} \times h} = \frac{h_{chóp}}{3h} $$

Vì O là điểm trung tâm của đáy nên $ h_{chóp} = \frac{h}{2} $. Thay vào công thức ta có:

$$ Tỷ số = \frac{\frac{h}{2}}{3h} = \frac{1}{6} $$

Vậy tỷ số thể tích của khối chóp O.A’B’C’D’ và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là $ \frac{1}{6} $.

---

2) Để tính độ dài cạnh bên của khối lăng trụ A.BC.A’B’C’, trước tiên ta có thể sử dụng công thức tính thể tích của lăng trụ. Thể tích của lăng trụ được cho là:

$$ V = \frac{a^3\sqrt{3}}{8} $$

Biết rằng đáy là tam giác đều với cạnh $ a $, diện tích đáy sẽ được tính bằng:

$$ S_{đáy} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 $$

Giả sử chiều cao của lăng trụ là $ h $. Do đó, thể tích của lăng trụ có thể được tính như sau:

$$ V = S_{đáy} \times h = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times h $$

Từ đó, ta có:

$$ \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times h = \frac{a^3\sqrt{3}}{8} $$

Chia cả hai vế cho $ \sqrt{3} $ ta có:

$$ \frac{1}{4} a^2 \times h = \frac{a^3}{8} $$

Nhân cả hai vế với 8 ta được:

$$ 2a^2 \times h = a^3 $$

Chia cả hai vế cho $ 2a^2 $ (với $ a \neq 0 $) ta có:

$$ h = \frac{a}{2} $$

Vì vậy, độ dài cạnh bên của khối lăng trụ là $ \frac{a}{2} $.

1)Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, O là giao điểm của AC và BD. Tỷ số thể tích của khối chóp O.A’B’C’D’ và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: 2) Cho lăng trụ A BC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu củ...