Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc 45°. Tính thể tích khối lăng trụ.

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5421844,"userName":"Little Wolf / QC"}

1. Phân tích đề bài

• Đáy $ABC$: Tam giác đều cạnh $a$. Diện tích đáy là $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

• Hình chiếu: Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Theo đề bài, $A'H \perp (ABC)$, do đó $A'H$ là chiều cao $h$ của khối lăng trụ.

• Góc giữa mặt bên $(AA'C'C)$ và đáy: Chính là góc giữa mặt phẳng $(ACC'A')$ và $(ABC)$.

2. Xác định chiều cao $h = A'H$

Để xác định góc giữa $(ACC'A')$ và $(ABC)$, ta kẻ các đường phụ sau:

• Từ $H$ kẻ $HK \perp AC$ (với $K \in AC$).

• Vì $A'H \perp (ABC)$ nên $A'H \perp AC$.

• Kết hợp lại, ta có $AC \perp (A'HK)$, suy ra $AC \perp A'K$.

• Góc giữa hai mặt phẳng là $\widehat{A'KH} = 45^\circ$.

Xét tam giác $AHK$ vuông tại $K$:

• $\widehat{HAK} = 60^\circ$ (góc của tam giác đều $ABC$).

• $AH = \frac{a}{2}$ (do $H$ là trung điểm $AB$).

• $HK = AH \cdot \sin(60^\circ) = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Xét tam giác $A'HK$ vuông tại $H$:

• $h = A'H = HK \cdot \tan(45^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.

3. Tính thể tích khối lăng trụ

Thể tích $V$ được tính theo công thức:

$V=S_{ABC}\cdot h$

$V=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{4}$

$V=\frac{3a^{3}}{16}$

Kết luận: Thể tích khối lăng trụ là $V = \frac{3a^3}{16}$.

Timi · Answer

Để tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’, ta cần biết diện tích đáy và chiều cao của khối lăng trụ.

**Bước 1: Tính diện tích đáy**

Đáy ABC là một tam giác đều với cạnh bằng a. Diện tích của tam giác đều được tính bằng công thức:

$$
S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}
$$

**Bước 2: Tìm chiều cao của lăng trụ**

Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Gọi M là trung điểm của AB.

Theo bài toán, góc giữa mặt bên AA&#x27;C&#x27;C với mặt phẳng đáy ABC là 45°. Ta có thể xác định chiều cao AA’ (h) của khối lăng trụ từ công thức liên quan đến tang của góc.

$$
\tan(45°) = 1 = \frac{h}{d}
$$

Trong đó d là khoảng cách từ M đến đường thẳng C&#x27;C. Vì M là trung điểm của AB và tam giác ABC đều, ta có thể tính d là chiều cao từ C tới M.

Chiều cao từ C tới AB (cạnh của tam giác) có thể tính bằng:

$$
d = \frac{a \sqrt{3}}{2}
$$

Do đó:

$$
h = d \cdot \tan(45°) = d = \frac{a \sqrt{3}}{2}
$$

**Bước 3: Tính thể tích lăng trụ**

Thể tích V của khối lăng trụ được tính bằng công thức:

$$
V = S_{ABC} \cdot h
$$

Thay diện tích đáy và chiều cao vào công thức:

$$
V = \left( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \right) \cdot \left( \frac{a \sqrt{3}}{2} \right) 
$$

$$
V = \frac{a^3 \cdot 3}{8} = \frac{3a^3}{8}
$$

**Kết luận:**

Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

$$
\boxed{\frac{3a^3}{8}}
$$

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc 45°. Tính thể tích khối...