Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC = a√3, BC = 3a, ∠(ACB)=300. Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh BC sao cho HC =...

Little Wolf / QC

Bài 3: Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)

1. Tính diện tích đáy \(ABC\)

• Cho \(AC = a\sqrt{3}\), \(BC = 3a\), và \(\widehat{ACB} = 30^\circ\) (Lưu ý: Đề ghi \(300\) nhưng dựa trên ngữ cảnh hình học phẳng, đây là \(30^{\circ }\)).

• Diện tích tam giác \(ABC\):

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot \sin (\widehat{ACB})=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{3}\cdot 3a\cdot \sin (30^{\circ })=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}\)

2. Xác định chiều cao khối lăng trụ

• Mặt phẳng \((A'BC) \perp (ABC)\) và \((A'AH) \perp (ABC)\). Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua \(A^{\prime }\) và vuông góc với đáy \((ABC)\). Gọi \(A'H'\) là đường cao của lăng trụ. Vì \(H\) nằm trên \(BC\) và thỏa mãn các điều kiện vuông góc, ta xác định chân đường cao chính là điểm \(H\) trên cạnh \(BC\).

• Theo đề bài: \(HC = 3BH\) và \(BC = 3a \implies BH = \frac{3a}{4}\).

• Xét tam giác \(AHC\) trong đáy \(ABC\) dùng định lý hàm số cosin để tính \(AH\):

\(AH^{2}=AC^{2}+HC^{2}-2\cdot AC\cdot HC\cdot \cos (30^{\circ })\)

\(AH^{2}=(a\sqrt{3})^{2}+\left(\frac{9a}{4}\right)^{2}-2\cdot a\sqrt{3}\cdot \frac{9a}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3a^{2}+\frac{81a^{2}}{16}-\frac{27a^{2}}{4}=\frac{21a^{2}}{16}\)

\(\implies AH=\frac{a\sqrt{21}}{4}\)

• Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là \(60^{\circ }\). Vì \(A'H \perp (ABC)\) nên \(\widehat{A'AH} = 60^\circ\).

• Chiều cao \(A'H\):

\(A^{\prime }H=AH\cdot \tan (60^{\circ })=\frac{a\sqrt{21}}{4}\cdot \sqrt{3}=\frac{3a\sqrt{7}}{4}\)

3. Tính thể tích

\(V=S_{ABC}\cdot A^{\prime }H=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3a\sqrt{7}}{4}=\frac{9a^{3}\sqrt{21}}{16}\)

________________________________________

Bài 4: Tính thể tích khối lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\)

1. Diện tích đáy \(ABCD\)

• Đáy là hình vuông cạnh \(a\):

\(S_{ABCD}=a^{2}\)

2. Xác định chiều cao

• Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Chân đường vuông góc từ \(A^{\prime }\) xuống đáy là \(O \implies A'O \perp (ABCD)\).

• Kẻ \(OH \perp AB\) tại \(H\). Vì \(O\) là tâm hình vuông nên \(H\) là trung điểm của \(AB\) và \(OH = \frac{a}{2}\).

• Ta có \(AB \perp OH\) và \(AB \perp A'O \implies AB \perp (A'OH)\).

• Do đó, góc giữa mặt phẳng \((AA'B'B)\) và đáy chính là \(\widehat{A'HO} = 60^\circ\).

• Chiều cao \(A'O\):

\(A^{\prime }O=OH\cdot \tan (60^{\circ })=\frac{a}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

3. Tính thể tích

\(V=S_{ABCD}\cdot A^{\prime }O=a^{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}\)