Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt phẳng S.ABCD bằng 60º. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Bài 5 Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và AB = a, AC = 2a, góc BAC = 120º. Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60º. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

Question

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5421844,"userName":"Little Wolf / QC"}

Bài 4:

Vì (SAB) ⊥ (ABCD) và (SAD) ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ (ABCD).

Góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA = 60°.

$S_{ABCD} = AB \cdot AD = 2a \cdot a = 2a^2$

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = a\sqrt{5}$

$SA = AC \cdot an\widehat{SCA} = a\sqrt{5} \cdot an 60^\circ = a\sqrt{15}$

$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot a\sqrt{15} = \frac{2a^3\sqrt{15}}{3}$

Bài 5:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin\widehat{BAC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a \cdot \sin 120^\circ = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos\widehat{BAC}} = \sqrt{a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot \cos 120^\circ} = a\sqrt{7}$

Kẻ AH ⊥ BC tại H.

Vì SA ⊥ (ABC) nên BC ⊥ SH. Góc giữa (SBC) và (ABC) là góc SHA = 60°.

$AH = \frac{2S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{7}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

$SA = AH \cdot an\widehat{SHA} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \cdot an 60^\circ = \frac{3a}{\sqrt{7}}$

$V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3a}{\sqrt{7}} = \frac{a^3\sqrt{21}}{14}$

Timi · Answer

**Bài 4:**

Để tính thể tích của hình chóp S.ABCD, trước hết chúng ta cần tính diện tích đáy và chiều cao của hình chóp.

1. **Diện tích đáy ABCD**: 
   - Diện tích của hình chữ nhật ABCD được tính theo công thức:
     $$
     S_{ABCD} = AB \times AD = 2a \times a = 2a^2
     $$

2. **Chiều cao h của hình chóp**: 
   - Mặt phẳng (SAB) và (SAD) đều vuông góc với đáy, điều này có nghĩa là chiều cao của chóp là đoạn thẳng từ đỉnh S vuông góc với đáy ABCD.
   - Gọi h là chiều cao từ S xuống mặt phẳng ABCD. Theo đề bài, góc giữa SC và mặt phẳng S.ABCD là 60º. Ta có thể sử dụng định nghĩa của sin trong tam giác vuông để tính chiều cao:
     $$
     \sin(60º) = \frac{h}{SC}
     $$
   - Để tính SC, chúng ta cần sử dụng tọa độ để tính chiều dài SC. 
   - Gọi O là trung điểm của AC. Khi đó, AO = OC = 1a và AC = 2a.
   - Khoảng cách từ S đến O là chiều cao h và là đường thẳng đi từ S vuông góc đến AC.
   - Ta có thể tính SC bằng công thức Pythagore:
     $$
     SC = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}
     $$

3. **Áp dụng vào công thức tính h**:
   $$
   \sin(60º) = \frac{h}{a\sqrt{5}} \Rightarrow h = a\sqrt{5} \cdot \sin(60º) = a\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{15}}{2}
   $$

4. **Thể tích khối chóp S.ABCD**:
   - Công thức tính thể tích V của hình chóp là:
     $$
     V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h
     $$
   - Thay vào giá trị S và h:
     $$
     V = \frac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot \frac{a\sqrt{15}}{2} = \frac{a^3\sqrt{15}}{3}
     $$

**Đáp án**: Thể tích khối chóp S.ABCD là $ \frac{a^3\sqrt{15}}{3} $.

---

**Bài 5:**

Tương tự như bài 4, chúng ta sẽ tính thể tích của hình chóp S.ABC.

1. **Diện tích đáy ABC**: 
   - ABC là một tam giác, với AB = a, AC = 2a và góc BAC = 120º.
   - Diện tích của tam giác ABC được tính theo công thức:
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(BAC)
     $$
   - Tính diện tích:
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a \cdot \sin(120º) = \frac{1}{2} \cdot 2a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}
     $$

2. **Chiều cao h của hình chóp**: 
   - Theo đề bài, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60º.
   - Tương tự như bài trước, ta sẽ có:
     $$
     \sin(60º) = \frac{h}{SB}
     $$
   - Để tính SB, ta có:
     $$
     SB = \sqrt{h^2 + d^2}
     $$
   - Với d là khoảng cách từ S đến trung điểm của BC.
   - Khoảng cách BC là:
     $$
     BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}
     $$
   - Chiều cao sẽ được tính từ h:
     $$
     h = SB \cdot \sin(60º)
     $$

3. **Thể tích khối chóp S.ABC**:
   - Công thức tính thể tích V của hình chóp là:
     $$
     V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h
     $$
   - Sau khi có h, ta thay vào để tính V.

**Đáp án**: Thể tích khối chóp S.ABC là $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt phẳng S.ABCD bằng 60º. Tính theo a thể tích khối chóp...