1)Cho khối lăng trụ đứng có đáy ABC.A’B’C’ với AB= a; AC = 2a và ∠(BAC)=120º, mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
2)Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt (DBC’) với đáy ABCD một góc 60º. Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D là:

Question

1)Cho khối lăng trụ đứng có đáy ABC.A’B’C’ với AB= a; AC = 2a và ∠(BAC)=120º, mặt phẳng (A&#x27;BC) hợp với đáy một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
2)Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt (DBC’) với đáy ABCD một góc 60º. Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D là:

Gminh · Accepted Answer

Câu 1

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có:

AB = a

AC = 2a

góc BAC = 120°

mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy một góc 60°

Bước 1: Tính diện tích đáy ABC

S_ABC = (1/2) × AB × AC × sin120°

= (1/2) × a × 2a × (√3/2)

= (√3/2)a²

Bước 2: Tính BC

Áp dụng định lý cosin:

BC² = AB² + AC² − 2.AB.AC.cos120°

= a² + (2a)² − 2.a.2a.(-1/2)

= a² + 4a² + 2a²

= 7a²

⇒ BC = a√7

Bước 3: Tính khoảng cách từ A đến BC

Gọi H là chân đường cao từ A xuống BC.

AH = (2.S_ABC)/BC

= [2 × (√3/2)a²]/(a√7)

= (√3.a²)/(a√7)

= a√(3/7)

Bước 4: Tính chiều cao lăng trụ

Gọi AA' = h.

Do góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 60° nên:

tan60° = h/AH

√3 = h/(a√(3/7))

⇒ h = √3 × a√(3/7)

= 3a/√7

= (3a√7)/7

Bước 5: Tính thể tích lăng trụ

V = S_đáy × h

= (√3/2)a² × (3a√7/7)

= (3√21/14)a³

Đáp án câu 1

V = (3√21/14)a³

Câu 2

Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D'

Đáy ABCD là hình vuông cạnh a.

Mặt phẳng (DBC') tạo với đáy góc 60°.

Bước 1: Đặt chiều cao lăng trụ là h

Ta có:

D(0;a;0)

B(a;0;0)

C'(a;a;h)

Khi đó:

DB = (a; -a; 0)

DC' = (a; 0; h)

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (DBC')

n = DB × DC'

= (-ah; -ah; a²)

Có thể lấy:

n = (-h; -h; a)

Pháp tuyến của mặt đáy:

k = (0; 0; 1)

Bước 3: Sử dụng góc giữa hai mặt phẳng

cos60° = |n.k|/(|n|.|k|)

1/2 = a/√(2h² + a²)

Bình phương hai vế:

1/4 = a²/(2h² + a²)

2h² + a² = 4a²

2h² = 3a²

h² = 3a²/2

h = a√(3/2)

Bước 4: Tính thể tích

Diện tích đáy:

S_đáy = a²

Thể tích:

V = S_đáy × h

= a² × a√(3/2)

= a³√(3/2)

= (√6/2)a³

Đáp án câu 2

V = (√6/2)a³.

Timi · Answer

1) Để tính thể tích khối lăng trụ đứng ABC.A&#x27;B&#x27;C&#x27;, trước tiên chúng ta cần tính diện tích đáy và chiều cao của khối lăng trụ.

- Đáy ABC có ba điểm A, B, C, với AB = a, AC = 2a và ∠(BAC) = 120º.

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác:
$$
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)
$$
Ta có:
$$
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a \cdot \sin(120º) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}
$$

- Chiều cao của khối lăng trụ là khoảng cách từ mặt phẳng đáy đến mặt phẳng (A&#x27;BC). Mặt phẳng (A&#x27;BC) hợp với đáy một góc 60º, nên chiều cao h có thể được tính bằng công thức:
$$
h = \text{độ dài cạnh} \cdot \sin(60º) = h&#x27; \cdot \sin(60º)
$$
Giả sử h&#x27; là chiều cao từ A&#x27; đến mặt phẳng đáy. Ta không có thông tin cụ thể về h&#x27;, nhưng với góc 60º, h sẽ là h&#x27; * √3/2.

Do đó, thể tích V của khối lăng trụ là:
$$
V = S \cdot h = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot h
$$
Vì h chưa biết, ta không thể tính chính xác thể tích, tuy nhiên, nếu h được cung cấp, thể tích sẽ là:
$$
V = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot h
$$

2) Để tính thể tích của lăng trụ tứ giác đều ABCD.A&#x27;B&#x27;C&#x27;D&#x27;, trước tiên ta cần tính diện tích đáy và chiều cao.

- Đáy ABCD là một hình vuông với cạnh bằng a. Diện tích của đáy sẽ là:
$$
S_{đáy} = a^2
$$

- Để tìm chiều cao của khối lăng trụ, mặt phẳng (DBC&#x27;) với đáy ABCD hợp một góc 60º. Chiều cao h có thể tính bằng chiều dài cạnh nhân với sin của góc:
$$
h = a \cdot \sin(60º) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
$$

Thể tích V của lăng trụ sẽ là:
$$
V = S_{đáy} \cdot h = a^2 \cdot \left(a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{a^3 \sqrt{3}}{2}
$$

Tóm lại:
1) Thể tích của khối lăng trụ ABC.A&#x27;B&#x27;C&#x27; là: $\frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot h$ (h cần được cung cấp để tính chính xác).
2) Thể tích của lăng trụ ABCD.A&#x27;B&#x27;C&#x27;D&#x27; là: $\frac{a^3 \sqrt{3}}{2}$.

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5421844,"userName":"Little Wolf / QC"}

Bài 1: Tính thể tích khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$

1. Tính diện tích đáy $ABC$:

Diện tích tam giác $ABC$ được tính theo công thức:

$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin (\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2a\cdot \sin (120^{\circ })=a^{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Tính độ dài cạnh $BC$:

Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác $ABC$:

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos (120^{\circ })=a^{2}+(2a)^{2}-2\cdot a\cdot 2a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=7a^{2}\Rightarrow BC=a\sqrt{7}$

3. Xác định chiều cao $AA^{\prime }$:

• Kẻ đường cao $AH$ của $\triangle ABC$ ($H \in BC$). Vì lăng trụ đứng nên $AA' \perp (ABC)$, suy ra góc giữa $(A'BC)$ và đáy là góc $\angle A'HA = 60^\circ$.

• Diện tích tam giác $ABC$ cũng bằng: $S = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC \Rightarrow AH = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{7}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.

• Trong tam giác vuông $A'AH$: $AA' = AH \cdot \tan(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \cdot \sqrt{3} = \frac{3a}{\sqrt{7}}$.

4. Thể tích khối lăng trụ:

$V=S_{\triangle ABC}\cdot AA^{\prime }=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3a}{\sqrt{7}}=\frac{3a^{3}\sqrt{21}}{14}$

________________________________________

Bài 2: Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$

1. Diện tích đáy $ABCD$:

Vì đáy là hình vuông cạnh $a$: $S_{ABCD} = a^2$.

2. Xác định chiều cao $CC^{\prime }$:

• Hình lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng có đáy là hình vuông.

• Góc giữa $(DBC')$ và đáy $(ABCD)$ chính là góc giữa đường thẳng trong mặt phẳng $(DBC')$ vuông góc với giao tuyến $BD$ và đường thẳng trong đáy vuông góc với $BD$.

• Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Ta có $CO \perp BD$ và $C'O \perp BD$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng là $\angle C'OC = 60^\circ$.

• Độ dài đoạn $CO$ (nửa đường chéo hình vuông): $CO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

• Trong tam giác vuông $C'CO$: $CC' = CO \cdot \tan(60^\circ) = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.

3. Thể tích khối lăng trụ:

$V=S_{ABCD}\cdot CC^{\prime }=a^{2}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{2}$

1)Cho khối lăng trụ đứng có đáy ABC.A’B’C’ với AB= a; AC = 2a và ∠(BAC)=120º, mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: 2)Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’...