Đồ thị của đạo hàm bậc nhất y = f'(x) của hàm số f(x) được cho trong hình 1.13. a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích. b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại và cực tiểu? Gi...

a) Hàm số $f(x)$ đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.

Kết quả:

Hàm số $f(x)$ đồng biến trên các khoảng: $(2; 4)$ và $(6; +\infty)$.

Giải thích:

Theo lý thuyết, hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng nào thì đạo hàm $f'(x) \ge 0$ trên khoảng đó (đồ thị nằm phía trên hoặc chạm trục hoành $Ox$).

Nhìn vào đồ thị $y = f'(x)$, ta thấy nét đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục $Ox$ trong hai khoảng:

Khoảng từ $x = 2$ đến $x = 4$.

Khoảng từ $x = 6$ trở đi về phía bên phải ($(6; +\infty)$).

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $(2; 4)$ và $(6; +\infty)$.

b) Tại giá trị nào của $x$ thì $f(x)$ có cực đại và cực tiểu? Giải thích.

Giải thích tổng quát:

Một điểm $x_0$ được gọi là điểm cực trị của hàm số $f(x)$ khi tại đó đạo hàm $f'(x_0) = 0$ (hoặc không xác định) và $f'(x)$ phải đổi dấu khi đi qua $x_0$.

Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm, hàm số đạt cực đại.

Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương, hàm số đạt cực tiểu.

Dựa vào đồ thị $y = f'(x)$, ta xét các điểm cắt với trục hoành ($f'(x) = 0$):

1. Điểm cực đại:

Kết quả: Hàm số đạt cực đại tại $x = 4$.

Giải thích: Tại $x = 4$, đồ thị cắt trục hoành ($f'(4) = 0$). Khi đi qua điểm $x = 4$ từ trái sang phải, đồ thị chuyển từ phía trên trục hoành xuống phía dưới trục hoành, nghĩa là $f'(x)$ đổi dấu từ dương (+) sang âm (-).

2. Điểm cực tiểu:

Kết quả: Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và $x = 6$.

Giải thích:

Tại $x = 2$: Đồ thị cắt trục hoành ($f'(2) = 0$) và đổi dấu từ âm (-) sang dương (+) (từ dưới trục hoành đi lên trên).

Tại $x = 6$: Đồ thị cắt trục hoành ($f'(6) = 0$) và đổi dấu từ âm (-) sang dương (+) (từ dưới trục hoành đi lên trên).

(Lưu ý: Tại điểm $x = 0$, đồ thị tiếp xúc với trục hoành $Ox$ nhưng không đi xuyên qua trục hoành, nghĩa là đạo hàm không đổi dấu khi qua $x = 0$ — vẫn mang dấu âm ở cả hai bên. Do đó, $x = 0$ không phải là điểm cực trị).