Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $y = x^4 - 3x^2 + 1$

Đây là hàm số trùng phương, xác định trên tập $\mathbb{R}$ ($D = \mathbb{R}$).

Bước 1: Tính đạo hàm $y'$

$y' = 4x^3 - 6x$

Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình $y' = 0$

$4x^3 - 6x = 0 \iff 2x(2x^2 - 3) = 0$

$\iff \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &2x^2 = 3 \end{aligned}\right. \iff \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &x = \frac{\sqrt{6}}{2} \\ &x = -\frac{\sqrt{6}}{2} \end{aligned}\right.$

Bước 3: Xét dấu $y'$ và lập bảng biến thiên (hoặc dùng đạo hàm cấp 2)

Sử dụng đạo hàm cấp 2 cho nhanh: $y'' = 12x^2 - 6$

Tại $x = 0$: $y''(0) = -6 < 0 \implies$ Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$.

Giá trị cực đại: $y_{\text{CĐ}} = y(0) = 1$.

Tại $x = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$: $y''\left(\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\right) = 12 \cdot \frac{6}{4} - 6 = 12 > 0 \implies$ Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm này.

Giá trị cực tiểu: $y_{\text{CT}} = y\left(\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\right) = \left(\frac{6}{4}\right)^2 - 3\left(\frac{6}{4}\right) + 1 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 1 = -\frac{5}{4}$.

Kết luận:

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ với $y_{\text{CĐ}} = 1$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$ với $y_{\text{CT}} = -\frac{5}{4}$.

b) $y = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

Bước 1: Tính đạo hàm $y'$

Sử dụng công thức tính đạo hàm nhanh cho hàm số dạng $\frac{ax^2 + bx + c}{dx + e}$:

$y' = \frac{a \cdot d \cdot x^2 + 2a \cdot e \cdot x + (b \cdot e - c \cdot d)}{(dx + e)^2}$

Áp dụng với biểu thức cụ thể của bài toán:

$y' = \frac{(-1)\cdot 1 \cdot x^2 + 2(-1)\cdot 2 \cdot x + [2\cdot 2 - (-1)\cdot 1]}{(x + 2)^2}$

$y' = \frac{-x^2 - 4x + 5}{(x + 2)^2}$

Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình $y' = 0$

$-x^2 - 4x + 5 = 0 \quad (\text{với } x \neq -2)$

$\iff (x - 1)(x + 5) = 0 \iff \left[\begin{aligned} &x = 1 \quad (\text{thỏa mãn}) \\ &x = -5 \quad (\text{thỏa mãn}) \end{aligned}\right.$

Bước 3: Lập bảng xét dấu của $y'$

Vì mẫu số $(x + 2)^2 > 0$ với mọi $x \neq -2$, dấu của $y'$ phụ thuộc hoàn toàn vào dấu của tam thức bậc hai ở tử số $-x^2 - 4x + 5$ (hệ số $a = -1 < 0 \implies$ "trong trái, ngoài cùng").

Ta có bảng biến thiên nhanh:

Trong khoảng nghiệm $(-5; 1)$: $y' > 0$ (hàm số đồng biến).

Ngoài khoảng nghiệm $(-\infty; -5)$ và $(1; +\infty)$: $y' < 0$ (hàm số nghịch biến).

Dựa vào quy tắc đổi dấu của $y'$:

Qua điểm $x = -5$, $y'$ đổi dấu từ âm sang dương $\implies$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -5$.

Giá trị cực tiểu: $y_{\text{CT}} = \frac{-(-5)^2 + 2(-5) - 1}{-5 + 2} = \frac{-25 - 10 - 1}{-3} = \frac{-36}{-3} = 12$.

Qua điểm $x = 1$, $y'$ đổi dấu từ dương sang âm $\implies$ Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$.

Giá trị cực đại: $y_{\text{CĐ}} = \frac{-1^2 + 2(1) - 1}{1 + 2} = \frac{0}{3} = 0$.

Kết luận:

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ với $y_{\text{CĐ}} = 0$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -5$ với $y_{\text{CT}} = 12$.